§ 2 线性空间的定义与简单性质 线性空间是线性代数最基本的概念之一. 这一节我们来介绍它的定义,并讨论它的一些最简单的性质.线性空间也是我们碰到的第一个抽象的概念. 为了说明它的来源,在引人定义之前,先看几个熟知的例子. 例 1 在解析几何中,我们讨论过三维空间中的向量. 向量的基本属性是可以按平行四边形法则相加, 也可以与实数作数量乘法. 我们看到, 不少几何和力学对象的性质是可以通过向量的这两种运算来描述的. 例 2 为了解线性方程组,我们讨论过以 n n n 元有序数组 ( a 1 , a 2 , ⋯   , a n ) \left(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\right) (a1​,a2​,⋯,an​) 作为元素的 n n n 维向量空间. 对于它们,也有加法和数量乘法,那就是 ( a 1 , a 2 , ⋯   , a n ) + ( b 1 , b 2 , ⋯   , b n ) = ( a 1 + b 1 , a 2 + b 2 , ⋯   , a n + b n ) , k ( a 1 , a 2 , ⋯   , a n ) = ( k a 1 , k a 2 , ⋯   , k a n ) . \begin{array}{c} \left(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\right)+\left(b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{n}\right)=\left(a_{1}+b_{1}, a_{2}+b_{2}, \cdots, a_{n}+b_{n}\right), \\ k\left(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\right)=\left(k a_{1}, k a_{2}, \cdots, k a_{n}\right) . \end{array} (a1​,a2​,⋯,an​)+(b1​,b2​,⋯,bn​)=(a1​+b1​,a2​+b2​,⋯,an​+bn​),k(a1​,a2​,⋯,an​)=(ka1​,ka2​,⋯,kan​).​

例 3 对于函数, 也可以定义加法和函数与实数的数量乘法. 臂如说, 考虑全体定义在区间 [ a , b ] [a, b] [a,b] 上的连续函数. 我们知道, 连续函数的和是连续函数, 连续函数与实数的数量乘积还是连续函数. 从这些例子中我们看到, 所考虑的对象虽然完全不同, 但是它们有一个共同点, 那就是它们都有加法和数量乘法这两种运算. 当然, 随着对象不同, 这

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