Reference
LeetCode 322. 零钱兑换 labuladong的算法小抄 Markdown语法
Labuladong的算法小抄(纸质书籍 2021年1月第1版，2022年1月第七次印刷 第2章，第1节)
此问题解法和上一个斐波那契数列问题解法，我都会详细介绍解法原理，再后续动态规划算法原理和此相同，我只会解释题目解决方案窍门(即找到“状态”、“选择”和状态转移方程)，不会再详细解释其他相关知识
动态规划一般解法
暴力穷举 -> 带备忘录的递归解法 -> dp 数组的迭代解法。 找到“状态”和“选择”->明确dp数组/函数的定义->寻找状态之间的关系。
难点
dp数组的含义寻找正确的状态转移方程(数学归纳法)
代码解释详见 Labuladong的算法小抄 书箱(2022年1月第七次印刷) pp.37-42
先看下题⽬：给你 k 种⾯值的硬币，⾯值分别为 c1, c2 … ck，每种硬币的数量⽆限，再给⼀个总⾦额 amount ，问你最少需要⼏枚硬币凑出这个⾦额，如果不可能凑出，算法返回 -1。 算法的函数签名如下： ⽐如说k=3，⾯值分别为1，2，5，总⾦额amount=11。那么最少需要3枚硬币凑出，即11=5+5+1。 你认为计算机应该如何解决这个问题？显然，就是把所有肯能的凑硬币⽅法都穷举出来，然后找找看最少需要多少枚硬币。 ⾸先，这个问题是动态规划问题，因为它具有「最优⼦结构」的。要符合「最优⼦结构」，⼦问题间必须互相独⽴。啥叫相互独⽴？你肯定不想看数学证明，我⽤⼀个直观的例⼦来讲解。 ⽐如说，你的原问题是考出最⾼的总成绩，那么你的⼦问题就是要把语⽂考到最⾼，数学考到最⾼……为了每门课考到最⾼，你要把每门课相应的选择题分数拿到最⾼，填空题分数拿到最⾼……当然，最终就是你每门课都是满分，这就是最⾼的总成绩。 得到了正确的结果：最⾼的总成绩就是总分。因为这个过程符合最优⼦结构，“每门科⽬考到最⾼”这些⼦问题是互相独⽴，互不⼲扰的。 但是，如果加⼀个条件：你的语⽂成绩和数学成绩会互相制约，此消彼⻓。这样的话，显然你能考到的最⾼总成绩就达不到总分了，按刚才那个思路就会得到错误的结果。因为⼦问题并不独⽴，语⽂数学成绩⽆法同时最优，所以最优⼦结构被破坏。 回到凑零钱问题，为什么说它符合最优⼦结构呢？⽐如你想求amount=11时的最少硬币数（原问题），如果你知道凑出amount=10的最少硬币数（⼦问题），你只需要把⼦问题的答案加⼀（再选⼀枚⾯值为1的硬币）就是原问题的答案，因为硬币的数量是没有限制的，⼦问题之间没有相互制，是互相独⽴的。 那么，既然知道了这是个动态规划问题，就要思考如何列出正确的状态转移⽅程？ 先确定「状态」，也就是原问题和⼦问题中变化的变量。由于硬币数量⽆限，所以唯⼀的状态就是⽬标⾦额amount。 然后确定 dp 函数的定义：当前的⽬标⾦额是 n ，⾄少需要dp(n)个硬币凑出该⾦额。 然后确定「选择」并择优，也就是对于每个状态，可以做出什么选择改变当前状态。具体到这个问题，⽆论当的⽬标⾦额是多少，选择就是从⾯额列表coins 中选择⼀个硬币，然后⽬标⾦额就会减少： 最后明确 base case，显然⽬标⾦额为 0 时，所需硬币数量为 0；当⽬标⾦额⼩于 0 时，⽆解，返回 -1：
方法1：暴力递归 (存在大量的重叠子问题)
递归问题最好都画出递归树，方法理解算法和计算时间空间复杂度 递归算法的时间复杂度：用子问题个数乘以解决一个子问题需要的时间。 ⾄此，状态转移⽅程其实已经完成了，以上算法已经是暴⼒解法了，以上代码的数学形式就是状态转移⽅程：
def func():
coins = list(map(int,input().strip().split()))
N = int(input())
def dp(coins,N):
if N == 0:
return 0
if N < 0:
return -1
res = float('inf')
for coin in coins:
subproblem = dp(coins,N-coin)
if subproblem == -1:
continue
res = min(res,1+subproblem)
return res if res != float('inf') else 0
return dp(coins,N)
if __name__ == '__main__':
c = func()
print(c)
⾄此，这个问题其实就解决了，只不过需要消除⼀下重叠⼦问题，⽐如 amount = 11, coins = {1,2,5} 时画出递归树看看： 时间复杂度分析：⼦问题总数x每个⼦问题的时间。 ⼦问题总数为递归树节点个数，这个⽐较难看出来，是O( n^k )，总之是指数级别的。每个⼦问题中含有⼀个for循环，复杂度为O(k)。所以总时间复杂度为O( k*n^k )，指数级别。
方法2：带备忘录的递归解法 (使用memo数组或者哈希表充当备忘录)
观察方法1的递归树，此方法相当于存在巨量冗余的递归二叉树，备忘录相当于提供了一套“剪枝”操作。使递归树改造成了一幅不存在冗余的递归树。极大地减少了子问题 只需要稍加修改，就可以通过备忘录消除⼦问题：
def func():
coins = list(map(int,input().strip().split()))
N = int(input())
def dp(coins,N):
memo = {} #定义哈希表
return helper(coins,N,memo)
def helper(coins,N,memo):
if N == 0:
memo[N] = 0
return memo[N]
if N < 0:
memo[N] = -1
return memo[N]
if N in memo.keys():
return memo[N]
res = float('inf')
for coin in coins:
subproblem = helper(coins,N-coin,memo)
if subproblem == -1:
continue
res = min(res, 1 + subproblem)
memo[N] = res if res != float('inf') else 0
return memo[N]
return dp(coins,N)
if __name__ == '__main__':
c = func()
print(c)
不画图了，很显然「备忘录」⼤⼤减⼩了⼦问题数⽬，完全消除了⼦问题的冗余，所以⼦问题总数不会超过⾦额数n，即⼦问题数⽬为O(n)。处理⼀个⼦问题的时间不变，仍是O(k)，所以总的时间复杂度是O(kn)。
方法3：dp数组的迭代解法 (DP table 自底向上解法)
当然，我们也可以⾃底向上使⽤dptable来消除重叠⼦问题，dp数组的定义和刚才dp函数类似，定义也是⼀样的： dp[i]=x表⽰，当⽬标⾦额为i时，⾄少需要x枚硬币。
def func():
coins = list(map(int,input().strip().split()))
N = int(input())
def dps(coins,N):
dpp = [N+1] * (N + 1)
dpp[0] =0
for i in range(len(dpp)):
for coin in coins:
if (i - coin) < 0:
continue
dpp[i] = min(dpp[i], 1 + dps(coins,i-coin))
return -1 if dpp[N] == N + 1 else dpp[N]
return dps(coins,N)
if __name__ == '__main__':
c = func()
print(c)
PS：为啥dp数组初始化为amount+1呢，因为凑成amount⾦额的硬币数最多只可能等于amount（全⽤1元⾯值的硬币），所以初始化为amount+1就相当于初始化为正⽆穷，便于后续取最⼩值。
最后总结
第⼀个斐波那契数列的问题，解释了如何通过「备忘录」或者「dptable」的⽅法来优化递归树，并且明确了这两种⽅法本质上是⼀样的，只是⾃顶向下和⾃底向上的不同⽽已。 第⼆个凑零钱的问题，展⽰了如何流程化确定「状态转移⽅程」，只要通过状态转移⽅程写出暴⼒递归解，剩下的也就是优化递归树，消除重叠⼦问题⽽已。 如果你不太了解动态规划，还能看到这⾥，真得给你⿎掌，相信你已经掌握了这个算法的设计技巧。 计算机解决问题其实没有任何奇技淫巧，它唯⼀的解决办法就是穷举，穷举所有可能性。算法设计⽆⾮就是先思考“如何穷举”，然后再追求“如何聪明地穷举”。 列出动态转移⽅程，就是在解决“如何穷举”的问题。之所以说它难，⼀是因为很多穷举需要递归实现，⼆是因为有的问题本⾝的解空间复杂，不那么容易穷举完整。 备忘录、DPtable就是在追求“如何聪明地穷举”。⽤空间换时间的思路，是降低时间复杂度的不⼆法门，除此之外，试问，还能玩出啥花活？
参考阅读
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