Logistic Regression 虽然被称为回归，但其实际上是分类模型，并常用于二分类。主要用来表示某件事情发生的可能性，因此因变量的范围在 0 和 1 之间。Logistic Regression 因其简单、可并行化、可解释强深受工业界喜爱。例如，探讨引发疾病的危险因素，并根据危险因素预测疾病发生的概率等。以胃癌病情分析为例，选择两组人群，一组是胃癌组，一组是非胃癌组，两组人群必定具有不同的体征与生活方式等。因此因变量就为是否胃癌，值为“是”或“否”，自变量就可以包括很多了，如年龄、性别、饮食习惯、幽门螺杆菌感染等。自变量既可以是连续的，也可以是分类的。
Logistic 回归的本质是：假设数据服从正态分布，使用极大似然估计对模型的参数进行估计。
一、Logistic分布
Logistic分布是一种连续概率分布，常用于建模具有有限范围的随机变量。它具有S形状的概率密度函数，可以用于描述一些自然现象和统计模型中的数据分布。
Logistic分布的概率密度函数（PDF）可以表示为：
f
(
x
)
=
e
−
(
x
−
μ
)
/
s
s
(
1
+
e
−
(
x
−
μ
)
/
s
)
2
f(x) = \frac{e^{-(x-\mu)/s}}{s(1+e^ {-(x-\mu)/s})^2}
f(x)=s(1+e−(x−μ)/s)2e−(x−μ)/s
其中，
x
x
x 是随机变量的取值，
μ
\mu
μ 是分布的均值，
s
s
s 是分布的尺度参数。均值
μ
\mu
μ表示分布的中心位置，尺度参数 ss 控制分布的形状。
Logistic分布的累积分布函数（CDF）可以表示为：
F
(
x
)
=
1
1
+
e
−
(
x
−
μ
)
/
s
F(x) = \frac{1}{1+e^{-(x-\mu)/s}}
F(x)=1+e−(x−μ)/s1 Logistic分布的特点包括：
对称性：Logistic分布是关于均值
μ
\mu
μ对称的，即分布在均值两侧呈镜像关系。 S形状：Logistic分布的概率密度函数在均值附近增长迅速，然后逐渐趋于平缓。这使得它在建模概率事件的发生概率时非常有用。 尾部厚重：相比于正态分布，Logistic分布的尾部较厚，即在分布的尾部区域概率下降较慢。
二、逻辑回归介绍
对于二分类问题，假设我们有一个数据集，其中包含
m
m
m个样本。每个样本由输入特征向量
x
x
x和对应的实际类别
y
y
y组成。我们希望通过逻辑回归模型来预测样本的类别。
假设存在一条直线（或超平面），可以将数据集中的样本完全分开。我们可以用一个线性模型来表示这条直线，其形式如下：
z
=
θ
0
+
θ
1
x
1
+
θ
2
x
2
+
…
+
θ
n
x
n
z = \theta_0 + \theta_1x_1 + \theta_2x_2 + \ldots + \theta_nx_n
z=θ0+θ1x1+θ2x2+…+θnxn
其中，
z
z
z表示线性模型的输出，
θ
0
,
θ
1
,
…
,
θ
n
θ
\theta_0, \theta_1, \ldots, \theta_nθ
θ0,θ1,…,θnθ 表示模型的参数，
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
x_1, x_2, \ldots, x_n
x1,x2,…,xn表示输入特征。
为了将线性模型的输出转化为概率值，我们使用逻辑函数（sigmoid函数）进行转换，得到预测的概率。逻辑函数的形式如下：
h
θ
(
x
)
=
1
1
+
e
−
z
h_{\theta}(x) = \frac{1}{1+e^{-z}}
hθ(x)=1+e−z1
其中，
h
θ
(
x
)
h_{\theta}(x)
hθ(x)表示逻辑回归模型的预测结果。
为了使得逻辑回归模型能够对样本进行分类，我们需要将预测的概率值映射到类别标签。一般来说，当预测的概率大于等于一个阈值时，我们将样本预测为正类别（例如，
h
θ
(
x
)
≥
0.5
h_{\theta}(x) \geq 0.5
hθ(x)≥0.5）；当预测的概率小于阈值时，我们将样本预测为负类别。
三 、逻辑回归的代价函数（Cost Function）
逻辑回归的代价函数（Cost Function）用于衡量模型预测结果与实际观测值之间的差异。在逻辑回归中，常用的代价函数是交叉熵损失函数（Cross-Entropy Loss）。
假设我们有一个训练集，其中包含mm个样本，每个样本由输入特征向量xx和对应的实际类别yy组成。逻辑回归的目标是通过最小化代价函数来优化模型的参数。
对于二元分类问题，交叉熵损失函数可以表示为：
J
(
θ
)
=
−
1
m
∑
i
=
1
m
[
y
(
i
)
log
(
h
θ
(
x
(
i
)
)
)
+
(
1
−
y
(
i
)
)
log
(
1
−
h
θ
(
x
(
i
)
)
)
]
J(\theta) = -\frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}\left[y^{(i)}\log(h_{\theta}(x^{(i)})) + (1-y^{(i)})\log(1-h_{\theta}(x^{(i)}))\right]
J(θ)=−m1i=1∑m[y(i)log(hθ(x(i)))+(1−y(i))log(1−hθ(x(i)))]
其中，
J
(
θ
)
J(\theta)
J(θ)表示代价函数，
θ
\theta
θ表示模型的参数，
h
θ
(
x
)
h_{\theta}(x)
hθ(x)表示逻辑回归模型的预测结果（即sigmoid函数的输出），
y
(
i
)
y^{(i)}
y(i)表示第
i
i
i个样本的实际类别。
代价函数的含义可以解释为：对于每个样本，如果实际类别为1，则第一项
y
(
i
)
log
(
h
θ
(
x
(
i
)
)
)
y^{(i)}\log(h_{\theta}(x^{(i)}))
y(i)log(hθ(x(i)))越大越好；如果实际类别为0，则第二项
(
1
−
y
(
i
)
)
log
(
1
−
h
θ
(
x
(
i
)
)
)
(1-y^{(i)})\log(1-h_{\theta}(x^{(i)}))
(1−y(i))log(1−hθ(x(i)))越大越好。通过求和和取平均，我们可以得到整个训练集上的平均代价。
逻辑回归的目标是最小化代价函数，通过调整模型的参数
θ
\theta
θ来实现。常用的方法是梯度下降（Gradient Descent），通过计算代价函数对参数的偏导数，更新参数以减小代价函数的值。
具体的梯度下降更新规则可以表示为：
θ
j
:
=
θ
j
−
α
∂
J
(
θ
)
∂
θ
j
\theta_j := \theta_j - \alpha\frac{\partial J(\theta)}{\partial \theta_j}
θj:=θj−α∂θj∂J(θ)
其中，
α
\alpha
α表示学习率，控制参数更新的步长。
通过反复迭代更新参数，直到达到收敛条件（如达到最大迭代次数或代价函数变化不显著），逻辑回归模型就可以得到最优的参数估计。
四、逻辑回归基于sklearn库的python代码实现
当使用scikit-learn库中的逻辑回归模型进行分类任务时，可以按照以下步骤进行操作：
1 导入所需的库和模块：
from sklearn.datasets import load_iris
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.linear_model import LogisticRegression
from sklearn.metrics import accuracy_score
2 加载鸢尾花数据集：
iris = load_iris()
X = iris.data
y = iris.target
3 划分数据集为训练集和测试集：
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.2, random_state=42)
4 创建并训练逻辑回归模型：
model = LogisticRegression()
model.fit(X_train, y_train)
5 使用训练好的模型进行预测：
y_pred = model.predict(X_test)
6 评估模型性能：
accuracy = accuracy_score(y_test, y_pred)
print("Accuracy:", accuracy)
完整的Python代码如下所示：
from sklearn.datasets import load_iris
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.linear_model import LogisticRegression
from sklearn.metrics import accuracy_score
# 加载鸢尾花数据集
iris = load_iris()
X = iris.data
y = iris.target
# 划分数据集为训练集和测试集
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.2, random_state=42)
# 创建并训练逻辑回归模型
model = LogisticRegression()
model.fit(X_train, y_train)
# 使用训练好的模型进行预测
y_pred = model.predict(X_test)
# 评估模型性能
accuracy = accuracy_score(y_test, y_pred)
print("Accuracy:", accuracy)
这段代码中，首先使用load_iris()函数加载鸢尾花数据集，然后使用train_test_split()函数将数据集划分为训练集和测试集。接下来，创建一个LogisticRegression对象作为逻辑回归模型，并使用训练集数据进行训练。然后，使用训练好的模型对测试集进行预测，并使用accuracy_score()函数计算分类准确度作为模型性能的评估指标。
五、逻辑回归的优缺点
优点：
实现简单，广泛的应用于工业问题上；分类时计算量非常小，速度很快，存储资源低；便利的观测样本概率分数；对逻辑回归而言，多重共线性并不是问题，它可以结合L2正则化来解决该问题；计算代价不高，易于理解和实现；
缺点：
-当特征空间很大时，逻辑回归的性能不是很好； -容易欠拟合，一般准确度不太高 -不能很好地处理大量多类特征或变量； -只能处理两分类问题（在此基础上衍生出来的softmax可以用于多分类），且必须线性可分； -对于非线性特征，需要进行转换；
六、总结：
逻辑回归是一种常用的分类算法，适用于二分类问题。它基于线性模型和逻辑函数的组合，将线性模型的输出转化为概率值，并通过设定阈值进行分类预测。逻辑回归模型的训练过程是通过最小化代价函数来优化模型参数，常用的代价函数是交叉熵损失函数。
使用scikit-learn库中的逻辑回归模型进行分类任务的步骤如下：
导入所需的库和模块。加载数据集。划分数据集为训练集和测试集。创建并训练逻辑回归模型。使用训练好的模型进行预测。评估模型性能，常用的指标是准确度。
逻辑回归模型具有简单高效、可解释性强和能处理非线性关系等优点。它在许多领域都有广泛的应用，如医学、金融、市场营销等。然而，逻辑回归也存在一些缺点，例如对异常值敏感、处理多分类问题相对困难等。
综上所述，逻辑回归是一种强大的分类算法，通过线性模型和逻辑函数的组合，能够有效地解决二分类问题。在实践中，我们可以使用scikit-learn库中的逻辑回归模型来快速构建和训练模型，并对其性能进行评估。
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