第五章 深度学习
一、基本理论
2. 深度神经网络结构
2.1 感知机
2.1.1 生物神经元
感知机（Perceptron），又称人工神经元（Artificial neuron），它是生物神经元在计算机中的模拟。下图是一个生物神经元示意图：
2.1.2 生物神经网络
更多的生物神经元相互连接，形成复杂的神经网络。人类神经元数量在 1011 数量级。
2.1.3 什么是感知机
感知机（Perceptron），又称神经元（Neuron，对生物神经元进行了模仿）是神经网络（深度学习）的起源算法，1958 年由康奈尔大学心理学教授弗兰克·罗森布拉特（Frank Rosenblatt）提出，它可以接收多个输入信号，产生一个输出信号。
2.1.4 感知机的功能
作为分类器/回归器，解决线性分类（逻辑和、逻辑或）、回归问题
神经元作为回归器 / 分类器 逻辑和（线性分类） 逻辑或（线性分类）
组成神经网络
2.1.5 如何实现感知机
实现逻辑和
实现逻辑或
2.1.6 感知机的局限
感知机的局限在于无法处理“异或”问题（非线性问题）
2.1.7 多层感知机
1975 年，感知机的“异或”难题才被理论界彻底解决，即通过多个感知机组合来解决该问题，这种模型也叫多层感知机（Multi-Layer Perceptron，MLP）。如下图所示，神经元节点阈值均设置为 0.5
多层感知机解决异或门实现
2.2 神经网络
2.2.1 什么是神经网络
感知机由于结构简单，完成的功能十分有限。可以将若干个感知机连在一起，形成一个级联网络结构，这个结构称为“多层前馈神经网络”（Multi-layer Feedforward Neural Networks）。所谓“前馈”是指将前一层的输出作为后一层的输入的逻辑结构。每一层神经元仅与下一层的神经元全连接。但在同一层之内，神经元彼此不连接，而且跨层之间的神经元，彼此也不相连。
2.2.2 神经网络的功能
1989 年，奥地利学者库尔特·霍尼克（Kurt Hornik）等人发表论文证明，对于任意复杂度的连续波莱尔可测函数（Borel Measurable Function）f，仅仅需要一个隐含层，只要这个隐含层包括足够多的神经元，前馈神经网络使用挤压函数（Squashing Function）作为激活函数，就可以以任意精度来近似模拟 f。如果想增加 f 的近似精度，单纯依靠增加神经元的数目即可实现。
这个定理也被称为通用近似定理（Universal Approximation Theorem），该定理表明，前馈神经网在理论上可近似解决任何问题。
2.2.3 通用近似定理几何解释
现有目标函数
f
(
x
)
=
x
3
+
x
2
−
x
−
1
f(x) = x^3 + x^2 - x - 1
f(x)=x3+x2−x−1，可以使用 6 个神经元进行模拟：
2.2.4 神经网络为什么要足够深
其实，神经网络的结构还有另外一个“进化”方向，那就是朝着“纵深”方向发展，也就是说，减少单层的神经元数量，而增加神经网络的层数，也就是“深”而“瘦”的网络模型。
微软研究院的科研人员就以上两类网络性能展开了实验，实验结果表明：增加网络的层数会显著提升神经网络系统的学习性能。
2.2.5 多层神经网络计算公式
神经网络涉及很多层权重，每一层又由多个权重组成，符号表示规则如下所示： 以下是一个多层神经网络及其计算公式：
2.3 激活函数
2.3.1 什么是激活函数
在神经网络中，将输入信号的总和转换为输出信号的函数被称为激活函数（activation function）。
2.3.2 为什么使用激活函数
激活函数将多层感知机输出转换为非线性，使得神经网络可以任意逼近任何非线性函数，这样神经网络就可以应用到众多的非线性模型中。
如果一个多层网络，使用连续函数作为激活函数的多层网络，称之为“神经网络”，否则称为“多层感知机”。所以，激活函数是区别多层感知机和神经网络的依据。
2.3.3 常见激活函数
阶跃函数
阶跃函数（Step Function）是一种特殊的连续时间函数，是一个从 0 跳变到 1 的过程，函数形式与图像：
sigmoid 函数
sigmoid 函数也叫 Logistic 函数，用于隐层神经元输出，取值范围为(0,1)，它可以将一个实数映射到(0,1)的区间，可以用来做二分类，表达式：
σ
(
x
)
=
1
/
(
1
+
e
−
x
)
σ(x) = 1 / (1 + e^{-x})
σ(x)=1/(1+e−x) 优点：平滑、易于求导 缺点：激活函数计算量大，反向传播求误差梯度时，求导涉及除法；反向传播时，很容易就会出现梯度消失的情况，从而无法完成深层网络的训练
tanh 双曲正切函数
优点：平滑、易于求导；输出均值为 0，收敛速度要比 sigmoid 快，从而可以减少迭代次数缺点：梯度消失用途：常用于 NLP 中
ReLU（Rectified Linear Units，修正线性单元）
优点：
更加有效率的梯度下降以及反向传播，避免了梯度爆炸和梯度消失问题计算过程简单 缺点：小于等于 0 的部分梯度为 0 用途：常用于图像
Softmax
Softmax 函数定义如下，其中
V
i
V_i
Vi 是分类器前级输出单元的输出。i 表示类别索引，总的类别个数为 C。
S
i
S_i
Si 表示的是当前元素的指数与所有元素指数和的比值。通过Softmax 函数就可以将多分类的输出数值转化为相对概率，而这些值的累和为 1，常用于神经网络输出层。表达式：
2.3.4 案例：实现常见激活函数
2.4 小结
感知机
接收多个输入信号，产生一个输出信号，无法解决异或问题
多层感知机
将多个感知机组合
多层前馈网络
若干个感知机组合成若干层的网络，上一层输出作为下一层输入
激活函数
将计算结果转换为输出的值，包括阶跃函数、sigmoid、tanh、ReLU
参考阅读
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