动态规划之简单多状态 dp 问题

01.买卖股票的最佳时机含冷冻期02.买卖股票的最佳时机含手续费03.买卖股票的最佳时机 III04.买卖股票的最佳时机 IV

01.买卖股票的最佳时机含冷冻期

题目链接：https://leetcode.cn/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock-with-cooldown/

给定一个整数数组prices，其中第 prices[i] 表示第 *i* 天的股票价格 。

设计一个算法计算出最大利润。在满足以下约束条件下，你可以尽可能地完成更多的交易（多次买卖一支股票）:

卖出股票后，你无法在第二天买入股票 (即冷冻期为 1 天)。

**注意：**你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。

示例 1:

输入: prices = [1,2,3,0,2]

输出: 3

解释: 对应的交易状态为: [买入, 卖出, 冷冻期, 买入, 卖出]

示例 2:

输入: prices = [1]

输出: 0

提示：

1 <= prices.length <= 50000 <= prices[i] <= 1000

思路

状态表表示：

对于线性动态规划，我们使用“经验+题目要求”方式定义状态表。在这里，我们选择以某个位置为结尾的方式，并考虑了三个状态：买入、可交易和冷冻期。用三个数组表示这些状态：

dp[i][0]：第 i 天结束后，处于“买入”状态的最大利润。dp[i][1]：第 i 天结束后，处于“可交易”状态的最大利润。dp[i][2]：第 i 天结束后，处于“冷冻期”状态的最大利润。 状态转移方程：

根据规则： i. 处于“买入”状态时，可以继续持有股票或卖出股票。 ii. 处于“卖出”状态时，需要考虑是否在冷冻期。对于 dp[i][0]，有两种情况可达到这个状态： i. 在 i-1 天持有股票，此时最大收益应与 i-1 天相同：dp[i-1][0]。 ii. 在 i 天买入股票，选择 i-1 天不在冷冻期买入，最大收益为：dp[i-1][1] - prices[i]。 综合两种情况取最大值：dp[i][0] = max(dp[i-1][0], dp[i-1][1] - prices[i])。对于 dp[i][1]，有两种情况可达到这个状态： i. 在 i-1 天处于冷冻期，对应状态为：dp[i-1][2]。 ii. 在 i-1 天没有股票，不在冷冻期，对应状态为：dp[i-1][1]。 综合两种情况取最大值：dp[i][1] = max(dp[i-1][1], dp[i-1][2])。对于 dp[i][2]，只有一种情况可达到这个状态：在 i-1 天卖出股票，对应状态转移为：dp[i][2] = dp[i-1][0] + prices[i]。 初始化：

由于每个状态都依赖于前一个位置的值，需要初始化每一行的第一个位置：

dp[0][0]：初始为购买第一天的股票，设为负股价：-prices[0]。dp[0][1]：初始为无操作，设为0。dp[0][2]：初始为无股票，即冷冻期，设为0。 填表顺序：

根据状态表表示，从左往右依次填充三个表格。 返回值：

返回卖出状态下的最大值，即 max(dp[n-1][1], dp[n-1][2])。

代码

class Solution {

public:

int maxProfit(vector& prices) {

int n=prices.size();

vector> dp(n,vector(3));

dp[0][0]=-prices[0];

for(int i=1;i

{

dp[i][0]=max(dp[i-1][0],dp[i-1][1]-prices[i]);

dp[i][1]=max(dp[i-1][1],dp[i-1][2]);

dp[i][2]=dp[i-1][0]+prices[i];

}

return max(dp[n-1][1],dp[n-1][2]);

}

};

02.买卖股票的最佳时机含手续费

题目链接：https://leetcode.cn/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock-with-transaction-fee/

给定一个整数数组 prices，其中 prices[i]表示第 i 天的股票价格 ；整数 fee 代表了交易股票的手续费用。

你可以无限次地完成交易，但是你每笔交易都需要付手续费。如果你已经购买了一个股票，在卖出它之前你就不能再继续购买股票了。

返回获得利润的最大值。

**注意：**这里的一笔交易指买入持有并卖出股票的整个过程，每笔交易你只需要为支付一次手续费。

示例 1：

输入：prices = [1, 3, 2, 8, 4, 9], fee = 2

输出：8

解释：能够达到的最大利润:

在此处买入 prices[0] = 1

在此处卖出 prices[3] = 8

在此处买入 prices[4] = 4

在此处卖出 prices[5] = 9

总利润: ((8 - 1) - 2) + ((9 - 4) - 2) = 8

示例 2：

输入：prices = [1,3,7,5,10,3], fee = 3

输出：6

提示：

1 <= prices.length <= 5 * 1041 <= prices[i] < 5 * 1040 <= fee < 5 * 104

思路

状态表表示：

对于线性动态规划，我们采用“经验+题目要求”的方式定义状态表。在这里，我们选择以某个位置为结尾的方式，结合题目要求，定义了两个状态数组：

f[i] 表示第 i 天结束后，处于“买入”状态的最大利润。g[i] 表示第 i 天结束后，处于“卖出”状态的最大利润。 状态转移方程：

在选择在“卖出”状态支付手续费的情况下，可以简化为在“买入”状态时不考虑手续费问题。对于 f[i]，有两种情况可达到这个状态： i. 在 i-1 天持有股票，第 i 天啥也不做，最大收益为 f[i-1]。 ii. 在 i-1 天没有股票，在第 i 天买入股票，最大收益为 g[i-1] - prices[i]。 综合两种情况取最大值：f[i] = max(f[i-1], g[i-1] - prices[i])。对于 g[i]，有两种情况可达到这个状态： i. 在 i-1 天持有股票，在第 i 天将股票卖出，最大收益为 f[i-1] + prices[i] - fee。 ii. 在 i-1 天没有股票，第 i 天啥也不做，最大收益为 g[i-1]。 综合两种情况取最大值：g[i] = max(g[i-1], f[i-1] + prices[i] - fee)。 初始化：

由于需要使用前一个状态，初始化第一个位置：

f[0] 处于“买入”状态，初始化为 -prices[0]。g[0] 处于“没有股票”状态，初始化为 0。 填表顺序：

从左往右填充两个表格。 返回值：

返回“卖出”状态下最后一天的最大值收益：g[n - 1]。

代码

class Solution {

public:

int maxProfit(vector& prices, int fee) {

int n=prices.size();

vector f(n);

vector g(n);

f[0]=-prices[0];

for(int i=1;i

{

f[i]=max(f[i-1],g[i-1]-prices[i]);

g[i]=max(g[i-1],f[i-1]+prices[i]-fee);

}

return g[n-1];

}

};

03.买卖股票的最佳时机 III

题目链接：https://leetcode.cn/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock-iii/

给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定的股票在第 i 天的价格。

设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 两笔 交易。

**注意：**你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。

示例 1:

输入：prices = [3,3,5,0,0,3,1,4]

输出：6

解释：在第 4 天（股票价格 = 0）的时候买入，在第 6 天（股票价格 = 3）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 3-0 = 3 。

随后，在第 7 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 8 天 （股票价格 = 4）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 4-1 = 3 。

示例 2：

输入：prices = [1,2,3,4,5]

输出：4

解释：在第 1 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天 （股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5-1 = 4 。

注意你不能在第 1 天和第 2 天接连购买股票，之后再将它们卖出。

因为这样属于同时参与了多笔交易，你必须在再次购买前出售掉之前的股票。

示例 3：

输入：prices = [7,6,4,3,1]

输出：0

解释：在这个情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。

示例 4：

输入：prices = [1]

输出：0

提示：

1 <= prices.length <= 1050 <= prices[i] <= 105

思路

状态表示：

使用「经验 + 题目要求」定义线性动态规划的状态表示。选择以某个位置为结尾的方式，结合题目要求，定义状态表示。使用两个数组表示「买入」和「可交易」两个状态，并加上一维表示交易次数。定义 f[i][j] 表示第 i 天结束后，完成了 j 次交易，处于「买入」状态的最大利润；g[i][j] 表示第 i 天结束后，完成了 j 次交易，处于「卖出」状态的最大利润。 状态转移方程：

对于 f[i][j]，有两种情况：在 i-1 天交易了 j 次且处于「买入」状态，或在 i-1 天交易了 j 次且处于「卖出」状态。取两者的最大值。对于 g[i][j]，有两种情况：在 i-1 天交易了 j 次且处于「卖出」状态，或在 i-1 天交易了 j-1 次且处于「买入」状态。同样取两者的最大值，但需要判断 j 是否大于等于 1。 初始化：

初始化第一行，考虑第 0 天只能处于「买入过一次」状态的情况，设置 f[0][0] 为 -prices[0]，其余状态为 -INF（防止减法发生越界的常用手段）。 填表顺序：

从上往下每一行，从左往右填充状态表。 返回值：

返回处于「卖出状态」的最大值，即 g 表的最后一行的最大值。

代码

class Solution {

const int INF = 0x3f3f3f3f;

public:

int maxProfit(vector& prices) {

int n=prices.size();

vector> f(n,vector(3,-INF));

vector> g(n,vector(3,-INF));

f[0][0]=-prices[0],g[0][0]=0;

for(int i=1;i

for(int j=0;j<3;++j){

f[i][j]=max(f[i-1][j],g[i-1][j]-prices[i]);

g[i][j]=g[i-1][j];

if(j>0) g[i][j]=max(g[i][j],f[i-1][j-1]+prices[i]);

}

return max(g[n-1][0],max(g[n-1][1],g[n-1][2]));

}

};

04.买卖股票的最佳时机 IV

题目链接：https://leetcode.cn/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock-iv/

给你一个整数数组 prices 和一个整数 k ，其中 prices[i] 是某支给定的股票在第 i 天的价格。

设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 k 笔交易。也就是说，你最多可以买 k 次，卖 k 次。

**注意：**你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。

示例 1：

输入：k = 2, prices = [2,4,1]

输出：2

解释：在第 1 天 (股票价格 = 2) 的时候买入，在第 2 天 (股票价格 = 4) 的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 4-2 = 2 。

示例 2：

输入：k = 2, prices = [3,2,6,5,0,3]

输出：7

解释：在第 2 天 (股票价格 = 2) 的时候买入，在第 3 天 (股票价格 = 6) 的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 6-2 = 4 。

随后，在第 5 天 (股票价格 = 0) 的时候买入，在第 6 天 (股票价格 = 3) 的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 3-0 = 3 。

提示：

1 <= k <= 1001 <= prices.length <= 10000 <= prices[i] <= 1000

思路

这里和上一题最大的区别就是交易次数的限制，需要注意的是，k值可能超过数组长度的一半，所以我们需要注意k的取值，其余同上一题的原理。

代码

class Solution {

const int INF = 0x3f3f3f3f;

public:

int maxProfit(int k, vector& prices) {

int n=prices.size();

k=min(k,n/2);

vector> f(n,vector(k+1,-INF));

vector> g(n,vector(k+1,-INF));

f[0][0]=-prices[0],g[0][0]=0;

for(int i=1;i

for(int j=0;j<=k;++j){

f[i][j]=max(f[i-1][j],g[i-1][j]-prices[i]);

g[i][j]=g[i-1][j];

if(j>0) g[i][j]=max(g[i][j],f[i-1][j-1]+prices[i]);

}

int ret = 0;

for(int i=0;i<=k;++i)

ret=max(ret,g[n-1][i]);

return ret;

}

};

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