算法沉淀——动态规划之完全背包问题
01.【模板】完全背包02.零钱兑换03.零钱兑换 II04.完全平方数
完全背包问题是背包问题的一种变体,与01背包问题不同,它允许你对每种物品进行多次选择。具体来说,给定一个固定容量的背包,一组物品,每个物品有重量和价值,目标是找到在背包容量范围内,使得背包中的物品总价值最大的组合。
相较于01背包问题,完全背包问题允许对每个物品进行多次选择,即每个物品都有无限件可用。
动态规划解法:
定义状态: 通常使用二维数组dp[i][j]表示在前i个物品中,背包容量为j时的最大总价值。 状态转移方程: 考虑第i个物品,可以选择放入背包或者不放入。如果选择放入,那么总价值为dp[i][j-weight[i]] + value[i],即前i个物品的总价值加上当前物品的价值。如果选择不放入,那么总价值为dp[i-1][j],即前i-1个物品的总价值。因此,状态转移方程为: dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-weight[i]] + value[i])
其中,dp[i-1][j]表示不放入第i个物品,dp[i][j-weight[i]] + value[i]表示放入第i个物品。 初始条件: 当i=0时,表示前0个物品,总价值为0;当j=0时,表示背包容量为0,总价值也为0。 遍历顺序: 外层循环遍历物品,内层循环遍历背包容量。 返回结果: 最终结果存储在dp[N][W]中,其中N为物品数量,W为背包容量。
例子:
假设有如下物品:
物品1:重量=2,价值=3
物品2:重量=3,价值=4
物品3:重量=4,价值=5
背包容量为W=8,我们要求解在这个条件下的最大总价值。
按照上述动态规划解法,构建状态转移表如下:
重量/价值 0 1 2 3 4 5 6 7 8
----------------------------------------------
物品0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
物品1 0 0 3 6 9 12 15 18 21
物品2 0 0 3 6 9 12 15 18 21
物品3 0 0 3 6 9 12 15 18 21
因此,最终结果为dp[3][8] = 21,表示在背包容量为8的情况下,最大总价值为21。这意味着最优解是选择物品1,物品2和物品3各两件放入背包。
01.【模板】完全背包
题目链接:https://www.nowcoder.com/practice/237ae40ea1e84d8980c1d5666d1c53bc?tpId=230&tqId=2032575&ru=/exam/oj&qru=/ta/dynamic-programming/question-ranking&sourceUrl=%2Fexam%2Foj%3Fpage%3D1%26tab%3D%25E7%25AE%2597%25E6%25B3%2595%25E7%25AF%2587%26topicId%3D196
描述
你有一个背包,最多能容纳的体积是V。
现在有n种物品,每种物品有任意多个,第i种物品的体积为vi,价值为wi。
(1)求这个背包至多能装多大价值的物品?
(2)若背包恰好装满,求至多能装多大价值的物品?
输入描述:
第一行两个整数n和V,表示物品个数和背包体积。
接下来n行,每行两个vi和wi表示第i种物品的体积和价值。
1≤n,V≤1000
输出描述:
输出有两行,第一行输出第一问的答案,第二行输出第二问的答案,如果无解请输出0。
示例1
输入:
2 6
5 10
3 1
输出:
10
2
示例2
输入:
3 8
3 10
9 1
10 1
输出:
20
0
说明:
无法恰好装满背包。
示例3
输入:
6 13
13 189
17 360
19 870
14 184
6 298
16 242
输出:
596
189
说明:
可以装5号物品2个,达到最大价值298*2=596,若要求恰好装满,只能装1个1号物品,价值为189.
思路
第一问:
状态表示:
dp[i][j] 表示从前 i 个物品中挑选,总体积不超过 j,所有选法中能挑选出的最大价值。 状态转移方程:
根据最后一步的状况,分情况讨论:
选 0 个第 i 个物品:相当于去前 i - 1 个物品中挑选,总体积不超过 j,最大价值为 dp[i - 1][j]。选 1 个第 i 个物品:相当于去前 i - 1 个物品中挑选,总体积不超过 j - v[i]。此时最大价值为 dp[i - 1][j - v[i]] + w[i]。 综上,状态转移方程为:dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - v[i]] + w[i])。 初始化:
多加一行,将第一行初始化为 0,因为什么也不选时,满足体积不小于 j 的情况,此时价值为 0。 填表顺序:
从上往下填表。 返回值:
根据状态表示,返回 dp[n][V]。
第二问:
状态表示:
dp[i][j] 表示从前 i 个物品中挑选,总体积正好等于 j,所有选法中能挑选出来的最大价值。 状态转移方程:
dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - v[i]] + w[i])。在使用 dp[i][j - v[i]] 时,需要判断 j >= v[i] 且 dp[i][j - v[i]] 表示的状态是否存在,即 dp[i][j - v[i]] != -1。 初始化:
多加一行,将第一个格子设置为 0,因为正好能凑齐体积为 0 的背包;但是第一行后面的格子都设置为 -1,因为没有物品,无法满足体积大于 0 的情况。 填表顺序:
从上往下填表。 返回值:
由于最后可能凑不成体积为 V 的情况,因此返回之前需要特判一下。
空间优化:
对于背包问题,一般都可以使用「滚动数组」来进行空间上的优化,即减少状态表示的维度。
在 01 背包问题中,优化的结果为:
删掉所有的横坐标。修改一下 j 的遍历顺序。
这样的优化是因为在计算 dp[i][j] 时,只依赖于上一行 dp[i-1][j] 和 dp[i-1][j-v[i]],而 dp[i-1][j-v[i]] 在当前行的计算过程中已经被更新过,因此不需要保留整个二维数组。
代码
#include
#include
#include
using namespace std;
const int N=1002;
int n,V,v[N],w[N];
int dp[N][N];
int main() {
cin>>n>>V;
for(int i=1;i<=n;i++) cin>>v[i]>>w[i];
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=0;j<=V;j++)
{
dp[i][j]=dp[i-1][j];
if(j>=v[i]) dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i][j-v[i]]+w[i]);
}
cout< memset(dp,0,sizeof dp); for(int j=1;j<=V;j++) dp[0][j]=-1; for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=0;j<=V;j++) { dp[i][j]=dp[i-1][j]; if(j>=v[i]&&dp[i][j-v[i]]!=-1) dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i][j-v[i]]+w[i]); } cout<<(dp[n][V]==-1?0:dp[n][V])< return 0; } 02.零钱兑换 题目链接:https://leetcode.cn/problems/coin-change/ 给你一个整数数组 coins ,表示不同面额的硬币;以及一个整数 amount ,表示总金额。 计算并返回可以凑成总金额所需的 最少的硬币个数 。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额,返回 -1 。 你可以认为每种硬币的数量是无限的。 示例 1: 输入:coins = [1, 2, 5], amount = 11 输出:3 解释:11 = 5 + 5 + 1 示例 2: 输入:coins = [2], amount = 3 输出:-1 示例 3: 输入:coins = [1], amount = 0 输出:0 提示: 1 <= coins.length <= 121 <= coins[i] <= 231 - 10 <= amount <= 104 思路 状态表示: dp[i][j] 表示从前 i 个硬币中挑选,总和正好等于 j,所有选法中最少的硬币个数。 状态转移方程: 在完全背包问题中,每个硬币可以选无限个,因此需要分多种情况讨论: 选 0 个第 i 个硬币:相当于去前 i - 1 个硬币中挑选,总和正好等于 j。此时最少的硬币个数为 dp[i - 1][j]。选 1 个第 i 个硬币:相当于去前 i - 1 个硬币中挑选,总和正好等于 j - coins[i]。因为挑选了一个第 i 个硬币,此时最少的硬币个数为 dp[i][j - coins[i]] + 1。 综上,状态转移方程为:dp[i][j] = min(dp[i - 1][j], dp[i][j - coins[i]] + 1)。 初始化: 初始化第一行,将第一个位置设置为 0,因为正好能凑齐总和为 0 的硬币;其余位置设置为无穷大。 填表顺序: 从上往下填表。 返回值: 根据状态表示,返回 dp[n][V]。但要特判一下,因为有可能凑不到。 代码 class Solution { const int INF=0x3f3f3f3f; public: int coinChange(vector int n=coins.size(); vector for(int j=1;j<=amount;j++) dp[0][j]=INF; for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=0;j<=amount;j++) { dp[i][j]=dp[i-1][j]; if(j>=coins[i-1]) dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i][j-coins[i-1]]+1); } return dp[n][amount]>=INF?-1:dp[n][amount]; } }; 03.零钱兑换 II 题目链接:https://leetcode.cn/problems/coin-change-ii/ 给你一个整数数组 coins 表示不同面额的硬币,另给一个整数 amount 表示总金额。 请你计算并返回可以凑成总金额的硬币组合数。如果任何硬币组合都无法凑出总金额,返回 0 。 假设每一种面额的硬币有无限个。 题目数据保证结果符合 32 位带符号整数。 示例 1: 输入:amount = 5, coins = [1, 2, 5] 输出:4 解释:有四种方式可以凑成总金额: 5=5 5=2+2+1 5=2+1+1+1 5=1+1+1+1+1 示例 2: 输入:amount = 3, coins = [2] 输出:0 解释:只用面额 2 的硬币不能凑成总金额 3 。 示例 3: 输入:amount = 10, coins = [10] 输出:1 提示: 1 <= coins.length <= 3001 <= coins[i] <= 5000coins 中的所有值 互不相同0 <= amount <= 5000 思路 状态表示: dp[i][j] 表示从前 i 个硬币中挑选,总和正好等于 j,一共有多少种选法。 状态转移方程: 在完全背包问题中,每个硬币可以选无限个,因此需要分多种情况讨论: 选 0 个第 i 个硬币:相当于去前 i - 1 个硬币中挑选,总和正好等于 j。此时的选法数为 dp[i - 1][j]。选 1 个第 i 个硬币:相当于去前 i - 1 个硬币中挑选,总和正好等于 j - coins[i]。因为挑选了一个第 i 个硬币,此时的选法数为 dp[i][j - coins[i]] + 1。 综上,状态转移方程为:dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - coins[i]] + 1。 初始化: 初始化第一行,表示没有物品,总和正好为 0 的情况。只有一种情况,即 dp[0][0] = 1;其余位置都为 0 种情况。 填表顺序: 从上往下填表。 返回值: 根据状态表示,返回 dp[n][V]。 代码 class Solution { public: int change(int amount, vector int n=coins.size(); vector dp[0][0]=1; for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=0;j<=amount;j++){ dp[i][j]=dp[i-1][j]; if(j>=coins[i-1]) dp[i][j]=dp[i][j]+dp[i][j-coins[i-1]]; } return dp[n][amount]; } }; 04.完全平方数 题目链接:https://leetcode.cn/problems/perfect-squares/ 给你一个整数 n ,返回 和为 n 的完全平方数的最少数量 。 完全平方数 是一个整数,其值等于另一个整数的平方;换句话说,其值等于一个整数自乘的积。例如,1、4、9 和 16 都是完全平方数,而 3 和 11 不是。 示例 1: 输入:n = 12 输出:3 解释:12 = 4 + 4 + 4 示例 2: 输入:n = 13 输出:2 解释:13 = 4 + 9 提示: 1 <= n <= 104 思路 状态表示: 在这个问题中,状态表示我们需要找到使得和为 n 的最少完全平方数的数量。因此,我们可以定义状态 dp[i][j],其中 i 表示使用前 i 个完全平方数,j 表示目标和为 j。dp[i][j] 的值表示使用前 i 个完全平方数达到和为 j 时的最小数量。 状态转移方程: 根据问题的特点,我们可以得到状态转移方程: dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i][j-i*i]+1); 其中,i*i表示第 i 个完全平方数。 初始化: 在初始化阶段,我们需要初始化第一行和第一列的值。对于第一行,因为使用零个完全平方数就能达到和为 0,所以 dp[0][0] = 0。对于其余的 dp[0][j],由于没有完全平方数可用,我们设为一个较大的值(代表不可能达到这个和)。对于第一列,因为使用任何完全平方数都可以达到和为 0,所以 dp[i][0] = 0。 填表顺序: 遍历顺序通常是根据状态转移方程中的依赖关系来确定的。在这里,我们可以先遍历使用的完全平方数 i,然后遍历目标和 j。 返回值: 返回结果是在最后一行 dp[m][n] 中,其中 m 表示完全平方数的个数,n 表示目标和。 代码 class Solution { const int INF=0x3f3f3f3f; public: int numSquares(int n) { int m=(int)sqrt(n); vector for(int j=1;j<=n;j++) dp[0][j]=INF; for(int i=1;i<=m;i++) for(int j=0;j<=n;j++){ dp[i][j]=dp[i-1][j]; if(j>=i*i) dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i][j-i*i]+1); } return dp[m][n]; } }; 推荐文章
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