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λ-矩阵
矩阵的秩
定义. 若矩阵
A
\mathbf{A}
A 的元素为关于
λ
λ
λ 的多项式，则称
A
\mathbf{A}
A 为
λ
λ
λ-矩阵 (表示为
A
(
λ
)
\mathbf{A}(λ)
A(λ)).
λ
\lambda
λ-矩阵也存在秩、初等变换、相抵、逆等概念, 但是有一些不同.
定义.
λ
\lambda
λ-矩阵的秩是指最高阶非零子式的阶数. 对于方阵而言, 若秩等于阶数, 则称其为满秩的.
定理. 方阵满秩的充要条件是行列式非零.
定义.
λ
\lambda
λ-矩阵的初等行变换是指由以下3种行操作构成的矩阵变换: ① 交换两行; ② 数乘行; ③ 一行乘以
ψ
(
λ
)
\psi(\lambda)
ψ(λ) 倍加到另一行，其中
ψ
(
λ
)
\psi(\lambda)
ψ(λ) 是以
λ
\lambda
λ 为变元的多项式. 类似地定义初等列变换. 由初等行变换和初等列变换构成的矩阵变换称为初等变换.
可以看出, 初等行/列变换仅③和常数矩阵不同, 乘以常数换成了乘以多项式.
定义. 若一个
λ
\lambda
λ-矩阵可经有限次初等变换得到另一个
λ
\lambda
λ-矩阵, 则称两个矩阵相抵.
定理. 初等变换不改变
λ
\lambda
λ-矩阵的秩, 即相抵的
λ
\lambda
λ-矩阵一定等秩.
但是等秩的矩阵不一定相抵, 如
A
1
=
[
1
0
0
0
λ
0
0
0
0
]
,
A
2
=
[
1
0
0
0
1
0
0
0
0
]
A_1=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & \lambda & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}, A_2=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}
A1=
1000λ0000
,A2=
100010000
秩都为2但不相抵 (显然, 二者的Smith标准形为自身, 但并不相等, 因此二者不相抵).
定理. 满秩方阵相抵的充要条件是行列式差一个非零常系数. (证明需借助Smith标准形的有关知识)
矩阵的逆
定义. 对于方阵
A
(
λ
)
\bm A(\lambda)
A(λ), 若存在方阵
B
(
λ
)
\bm B(\lambda)
B(λ), 使得
A
(
λ
)
B
(
λ
)
=
B
(
λ
)
A
(
λ
)
=
I
\bm A(\lambda) \bm B(\lambda)=\bm B(\lambda)\bm A(\lambda)=\bm I
A(λ)B(λ)=B(λ)A(λ)=I, 则称
A
(
λ
)
\bm A(\lambda)
A(λ) 为可逆阵,
B
(
λ
)
\bm B(\lambda)
B(λ) 为
A
(
λ
)
\bm A(\lambda)
A(λ) 的逆矩阵.
类似常数矩阵, 有如下定理:
定理.
λ
λ
λ-矩阵可逆的充要条件是行列式为非零常数.
由此可知:
λ
λ
λ-矩阵可逆一定满秩，但满秩不一定可逆.
定理. 对于
n
n
n 阶
λ
λ
λ-矩阵
A
(
λ
)
\bm A(\lambda)
A(λ), 若存在
n
n
n 阶
λ
λ
λ-矩阵
B
(
λ
)
\bm B(\lambda)
B(λ), 满足
A
(
λ
)
B
(
λ
)
=
I
\bm A(\lambda) \bm B(\lambda)=\bm{I}
A(λ)B(λ)=I 或
B
(
λ
)
A
(
λ
)
=
I
\bm B(\lambda) \bm A(\lambda)=\bm{I}
B(λ)A(λ)=I, 则
A
(
λ
)
\bm A(\lambda)
A(λ) 是可逆的, 且其逆矩阵为
B
(
λ
)
\bm B(\lambda)
B(λ).
定理. 方阵可逆的充要条件是相抵于单位阵. (证明需借助Smith标准形的知识)
证明:
n
n
n 阶
λ
\lambda
λ-矩阵
A
(
λ
)
\mathbf{A}(\lambda)
A(λ) 可逆
⟺
\iff
⟺ 其行列式为非零常数
⟺
\iff
⟺ 其满秩且
n
n
n 阶行列式因子为
1
1
1
⟺
\iff
⟺ 其 Smith 标准形为单位阵.
定理. 对
A
(
λ
)
\mathbf{A}(\lambda)
A(λ) 作初等行变换
ϕ
\phi
ϕ 相当于左乘可逆阵
ϕ
(
I
)
\phi(I)
ϕ(I),
A
(
λ
)
\mathbf{A}(\lambda)
A(λ) 作初等列变换
ψ
\psi
ψ 相当于右乘可逆阵
ψ
(
I
)
\psi(I)
ψ(I).
推论.
m
×
n
m \times n
m×n 的
λ
\lambda
λ-矩阵
A
(
λ
)
\mathbf{A}(\lambda)
A(λ) 相抵于
m
×
n
m \times n
m×n 的
λ
\lambda
λ-矩阵
B
(
λ
)
\mathbf{B}(\lambda)
B(λ)
⇒
\Rightarrow
⇒ 存在
m
m
m 阶可逆阵
P
(
λ
)
\mathbf{P}(\lambda)
P(λ) 和
n
n
n 阶可逆阵
Q
(
λ
)
\mathbf{Q}(\lambda)
Q(λ), 使得:
P
(
λ
)
A
(
λ
)
Q
(
λ
)
=
B
(
λ
)
\mathbf{P}(\lambda)\mathbf{A}(\lambda) \mathbf{Q}(\lambda)=\mathbf{B}(\lambda)
P(λ)A(λ)Q(λ)=B(λ).
修订于2024年2月12日
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