数据结构与算法 C++ 动态规划 Leetcode2376. 统计特殊整数

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题目来源：2376. 统计特殊整数

解法1：数位 DP

题解：数位 DP 通用模板，附题单（Python/Java/C++/Go）

代码：

/*

* @lc app=leetcode.cn id=2376 lang=cpp

*

* [2376] 统计特殊整数

*/

// @lc code=start

class Solution

{

public:

int countSpecialNumbers(int n)

{

string s = to_string(n);

int len = s.length(), memo[len][1 << 10];

memset(memo, -1, sizeof(memo)); // -1 表示没有计算过

function dfs;

// 返回从 i 开始填数字，前面填的数字集合是 mask，能构造出的特殊整数的数目

// is_limit 表示前面填的数字是否都是 n 对应位上的，

// 如果为 true，那么当前位至多为 s[i]，否则至多为 9

// is_num 表示前面是否填了数字（是否跳过），

// 如果为 true，那么当前位可以从 0 开始，否则当前位可以跳过，或者从 1 开始填数字

dfs = [&](int i, int mask, bool is_limit, bool is_num) -> int

{

if (i == len)

{

// 找到了一个合法数字

return is_num;

}

if (!is_limit && is_num && memo[i][mask] != -1)

return memo[i][mask];

int res = 0;

if (!is_num)

{

// 可以跳过当前数位

res = dfs(i + 1, mask, false, false);

}

// 如果前面填的数字都和 n 的一样，那么这一位至多填数字 s[i]（否则就超过 n 啦）

int up = is_limit ? s[i] - '0' : 9;

// 枚举要填入的数字 d

for (int d = 1 - is_num; d <= up; d++)

if ((mask >> d & 1) == 0)

{

// d 不在 mask 中

res += dfs(i + 1, mask | (1 << d), is_limit && d == up, true);

}

if (!is_limit && is_num)

memo[i][mask] = res; // 记忆化

return res;

};

return dfs(0, 0, true, false);

}

};

// @lc code=end

结果：

复杂度分析：

时间复杂度：O(mD2D)，其中 m 为字符串 s = to_string(n) 的长度，即 O(log⁡n)，D = 10。由于每个状态只会计算一次，因此动态规划的时间复杂度 = 状态个数 × times × 单个状态的计算时间。本题状态个数为 O(m2D)，单个状态的计算时间为 O(D)，因此时间复杂度为 O(mD2D)。

空间复杂度：O(m2D)，其中 m 为字符串 s = to_string(n) 的长度，即 O(log⁡n)，D = 10。

拓展题：1012. 至少有 1 位重复的数字

题目链接：1012. 至少有 1 位重复的数字

代码：

/*

* @lc app=leetcode.cn id=1012 lang=cpp

*

* [1012] 至少有 1 位重复的数字

*/

// @lc code=start

// 数位 DP

class Solution

{

public:

int numDupDigitsAtMostN(int n)

{

string s = to_string(n);

int len = s.length(), memo[len][1 << 10];

memset(memo, -1, sizeof(memo)); // -1 表示没有计算过

function dfs;

// 返回从 i 开始填数字，前面填的数字集合是 mask，能构造出的特殊整数的数目

// is_limit 表示前面填的数字是否都是 n 对应位上的，

// 如果为 true，那么当前位至多为 s[i]，否则至多为 9

// is_num 表示前面是否填了数字（是否跳过），

// 如果为 true，那么当前位可以从 0 开始，否则当前位可以跳过，或者从 1 开始填数字

dfs = [&](int i, int mask, bool is_limit, bool is_num) -> int

{

if (i == len)

{

// 找到了一个合法数字

return is_num;

}

if (!is_limit && is_num && memo[i][mask] != -1)

return memo[i][mask];

int res = 0;

if (!is_num)

{

// 可以跳过当前数位

res = dfs(i + 1, mask, false, false);

}

// 如果前面填的数字都和 n 的一样，那么这一位至多填数字 s[i]（否则就超过 n 啦）

int up = is_limit ? s[i] - '0' : 9;

// 枚举要填入的数字 d

for (int d = 1 - is_num; d <= up; d++)

if ((mask >> d & 1) == 0)

{

// d 不在 mask 中

res += dfs(i + 1, mask | (1 << d), is_limit && d == up, true);

}

if (!is_limit && is_num)

memo[i][mask] = res; // 记忆化

return res;

};

return n - dfs(0, 0, true, false);

}

};

// @lc code=end

结果：

复杂度分析：

时间复杂度：O(mD2D)，其中 m 为字符串 s = to_string(n) 的长度，即 O(log⁡n)，D = 10。由于每个状态只会计算一次，因此动态规划的时间复杂度 = 状态个数 × times × 单个状态的计算时间。本题状态个数为 O(m2D)，单个状态的计算时间为 O(D)，因此时间复杂度为 O(mD2D)。

空间复杂度：O(m2D)，其中 m 为字符串 s = to_string(n) 的长度，即 O(log⁡n)，D = 10。

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