逻辑回归的损失函数
线性回归的损失函数是平方损失。逻辑回归的损失函数是对数损失，定义如下：
L
o
g
L
o
s
s
=
∑
(
x
,
y
)
∈
D
−
y
log
(
y
′
)
−
(
1
−
y
)
log
(
1
−
y
′
)
LogLoss=\sum_{(x,y)\in D}-y\log(y')-(1-y)\log(1-y')
LogLoss=(x,y)∈D∑−ylog(y′)−(1−y)log(1−y′)
其中：
(
x
,
y
)
∈
D
(x,y)\in D
(x,y)∈D 是包含许多有标签样本（即成对数据集）的数据集。
(
x
,
y
)
∈
D
(x,y)\in D
(x,y)∈D
y
y
y是有标签样本中的标签。由于这是逻辑回归，因此 的每个
y
y
y值都必须是 0 或 1。
y
′
y'
y′是针对
x
x
x中的一组特征的预测值（介于 0 和 1 之间）。
逻辑回归中的正则化
正则化在逻辑回归建模中极其重要。如果不进行正则化，高逻辑维度下的逻辑回归的渐近性会不断促使损失接近 0。因此，大多数逻辑回归模型都使用以下两种策略之一来降低模型复杂性：
L2 正则化。早停法，即限制训练步数或学习速率。
（我们将在后续中讨论第三个策略，即 L1 正则化。）
假设您为每个示例分配一个唯一 ID，并将每个 ID 映射到其自己的特征。如果您不指定正则化函数，模型将完全过拟合。这是因为模型会尝试在所有样本上将损失降低为零，并且永远无法实现，从而将每个指示器特征的权重提高至 +无穷大或-无穷大。当有大量罕见的交叉时，仅在一个样本上发生，就会出现包含特征组合的高维度数据。
幸运的是，使用
L
2
L_2
L2或早停法可以防止此问题出现。
AI插图
这是对逻辑回归中对数损失函数的可视化。图中展示了两条曲线：一条表示当预测值接近实际值时的损失，另一条表示当预测值远离实际值时的损失。X轴代表预测概率，Y轴代表损失。不同颜色的曲线和图例有助于区分这两种情况。
接下来，我将生成展示正则化效果的图像。
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