文章目录
梯度下降法简单介绍概述原理梯度的定义梯度下降法的原理
应用线性回归逻辑回归
实现批量梯度下降法随机梯度下降法小批量梯度下降法
调参总结
梯度下降法简单介绍
本教程将介绍梯度下降法的基本思想和应用场景，并讲解其实现方法和调参技巧。
概述
梯度下降法（Gradient Descent）是一种常用的优化算法，用于在训练机器学习模型时最小化损失函数（即误差）。
在机器学习中，我们通常将问题描述成最小化一个损失函数的过程，其中损失函数是关于模型参数的函数。梯度下降法的目标就是找到损失函数的最小值点，更新模型参数使得损失函数达到最小值。
原理
梯度的定义
梯度即函数在某个点处的变化率，它是一个向量，包含了函数在各个维度上的变化率。对于函数
f
(
x
1
,
x
2
,
.
.
.
,
x
n
)
f(x_1,x_2,...,x_n)
f(x1,x2,...,xn)，其梯度为：
∇
f
(
x
1
,
x
2
,
.
.
.
,
x
n
)
=
[
∂
f
∂
x
1
,
∂
f
∂
x
2
,
.
.
.
,
∂
f
∂
x
n
]
\nabla f(x_1,x_2,...,x_n) = \left[\dfrac{\partial f}{\partial x_1},\dfrac{\partial f}{\partial x_2},...,\dfrac{\partial f}{\partial x_n}\right]
∇f(x1,x2,...,xn)=[∂x1∂f,∂x2∂f,...,∂xn∂f] 其中
∂
f
∂
x
i
\dfrac{\partial f}{\partial x_i}
∂xi∂f 表示在
x
i
x_i
xi 处沿着
x
i
x_i
xi 方向的变化率。
梯度下降法的原理
梯度下降法的思想很简单：在每一步，我们沿着负梯度的方向（即下降最快的方向）移动一定的步长，直到达到损失函数的最小值。
具体来说，假设我们要最小化的损失函数是
J
(
θ
)
J(\theta)
J(θ)，其中
θ
\theta
θ 是模型参数。我们从一个初始点
θ
0
\theta_0
θ0 开始迭代，每次迭代更新
θ
\theta
θ 的值，直至满足停止准则（比如损失函数值下降到一定程度，或者达到固定次数的迭代次数）。
每次迭代的更新公式为：
θ
=
θ
−
α
⋅
∇
J
(
θ
)
\theta = \theta - \alpha \cdot \nabla J(\theta)
θ=θ−α⋅∇J(θ)
其中
α
\alpha
α 是学习率（learning rate），它控制每一步迭代的步长。学习率太小会导致收敛速度慢，而学习率太大会导致算法发散。因此，学习率是梯度下降法中需要调整的一个超参数。
需要注意的是，梯度下降法只是一种局部搜索优化算法，即它无法保证得到全局最优解。因此，有时需要运用其他优化算法来搜索全局最优解。
应用
线性回归
线性回归是一种最简单的机器学习算法，它旨在找到一条直线来拟合数据。在线性回归中，我们需要最小化损失函数：
J
(
θ
)
=
1
2
m
∑
i
=
1
m
(
h
θ
(
x
i
)
−
y
i
)
2
J(\theta) = \dfrac{1}{2m}\sum_{i=1}^{m}(h_\theta(x_i) - y_i)^2
J(θ)=2m1i=1∑m(hθ(xi)−yi)2 其中
h
θ
(
x
i
)
h_\theta(x_i)
hθ(xi) 是模型预测值，
y
i
y_i
yi 是实际值，
m
m
m 是样本数量。
梯度下降法的迭代公式为：
θ
j
=
θ
j
−
α
⋅
1
m
∑
i
=
1
m
(
h
θ
(
x
(
i
)
)
−
y
(
i
)
)
⋅
x
j
(
i
)
\theta_j = \theta_j - \alpha \cdot \dfrac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}(h_\theta(x^{(i)}) - y^{(i)})\cdot x_j^{(i)}
θj=θj−α⋅m1i=1∑m(hθ(x(i))−y(i))⋅xj(i) 其中
j
j
j 表示第
j
j
j 个参数，
α
\alpha
α 是学习率。
逻辑回归
逻辑回归是一种广泛应用于分类问题的机器学习算法，它旨在找到一个函数来分割数据。
在逻辑回归中，我们需要最小化损失函数：
J
(
θ
)
=
−
1
m
∑
i
=
1
m
(
y
i
log
h
θ
(
x
i
)
+
(
1
−
y
i
)
log
(
1
−
h
θ
(
x
i
)
)
)
J(\theta) = -\dfrac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}(y_i\log h_\theta(x_i) + (1-y_i)\log (1-h_\theta(x_i)))
J(θ)=−m1i=1∑m(yiloghθ(xi)+(1−yi)log(1−hθ(xi))) 其中
h
θ
(
x
i
)
h_\theta(x_i)
hθ(xi) 是模型预测值，
y
i
y_i
yi 是实际值，
m
m
m 是样本数量。
梯度下降法的迭代公式为：
θ
j
=
θ
j
−
α
⋅
1
m
∑
i
=
1
m
(
h
θ
(
x
(
i
)
)
−
y
(
i
)
)
⋅
x
j
(
i
)
\theta_j = \theta_j - \alpha \cdot \dfrac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}(h_\theta(x^{(i)}) - y^{(i)})\cdot x_j^{(i)}
θj=θj−α⋅m1i=1∑m(hθ(x(i))−y(i))⋅xj(i) 其中
j
j
j 表示第
j
j
j 个参数，
α
\alpha
α 是学习率。
实现
批量梯度下降法
批量梯度下降法（Batch Gradient Descent）是一种在每次迭代中使用全部样本的梯度下降法，它能够保证每一次迭代的下降方向最优，但需要消耗大量的计算资源和时间。 伪代码：
while not converge:
grad = compute_gradient(theta, data)
theta = theta - alpha * grad
随机梯度下降法
随机梯度下降法（Stochastic Gradient Descent）是批量梯度下降法的一种变体，它在每次迭代中只使用一个样本的梯度，因此运行速度快，但不能保证每次迭代都能得到最优解。 伪代码
while not converge:
idx = random.randint(1, m)
grad = compute_gradient(theta, data[idx])
theta = theta - alpha * grad
小批量梯度下降法
小批量梯度下降法（Mini-Batch Gradient Descent）是批量梯度下降法和随机梯度下降法的折中方案，它在每次迭代中使用一小部分样本的梯度，既能保证下降方向比较优秀，又能够加速迭代过程。 伪代码：
while not converge:
idx = random.sample(range(1, m), batch_size)
grad = compute_gradient(theta, data[idx])
theta = theta - alpha * grad
其中 batch_size 是批量大小，需要调参。
调参
在梯度下降法中，需要调节的超参数主要有：
学习率（learning rate）：控制每次迭代的步长，需要根据具体的问题进行调节。迭代次数（number of iterations）：需要设置一个足够大的值，保证算法收敛到最优解。批量大小（batch size）：需要根据计算资源和算法效果进行调节，一般设置成 32/64/128 等。停止准则（stopping criterion）：一般设置成损失函数下降到一定程度或者达到一定的迭代次数。
总结
梯度下降法是一种常用的优化算法，适用于在机器学习中最小化损失函数的过程。在应用中，可以根据具体的问题和数据特点选择批量梯度下降法、随机梯度下降法或者小批量梯度下降法，其中需要注意学习率、迭代次数、批量大小等超参数的调节。同时，在实际应用中，需要避免梯度爆炸和梯度消失的问题，并考虑使用其他优化算法来解决局部最优的问题。
参考链接
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