「堆 heap」是一种满足特定条件的完全二叉树，主要可分为图所示的两种类型。
「大顶堆 max heap」：任意节点的值 >= 其子节点的值。
「小顶堆 min heap」：任意节点的值 <= 其子节点的值。
堆作为完全二叉树的一个特例，具有以下特性。
最底层节点靠左填充，其他层的节点都被填满。
我们将二叉树的根节点称为“堆顶”，将底层最靠右的节点称为“堆底”。
对于大顶堆（小顶堆），堆顶元素（即根节点）的值分别是最大（最小）的。
需要指出的是，许多编程语言提供的是「优先队列 priority queue」，这是一种抽象数据结构，定义为具有优先级排序的队列。
实际上，堆通常用作实现优先队列，大顶堆相当于元素按从大到小顺序出队的优先队列。从使用角度来看，我们可以将“优先队列”和“堆”看作等价的数据结构。
那么在c++里面的优先队列是什么样的呢？
类似于排序算法中的“从小到大排列”和“从大到小排列”，我们可以通过修改 Comparator 来实现“小顶堆”与“大顶堆”之间的转换。
/* 初始化堆 */
// 初始化小顶堆
priority_queue
// 初始化大顶堆
priority_queue
/* 元素入堆 */
maxHeap.push(1);
maxHeap.push(3);
maxHeap.push(2);
maxHeap.push(5);
maxHeap.push(4);
/* 获取堆顶元素 */
int peek = maxHeap.top(); // 5
/* 堆顶元素出堆 */
// 出堆元素会形成一个从大到小的序列
maxHeap.pop(); // 5
maxHeap.pop(); // 4
maxHeap.pop(); // 3
maxHeap.pop(); // 2
maxHeap.pop(); // 1
/* 获取堆大小 */
int size = maxHeap.size();
/* 判断堆是否为空 */
bool isEmpty = maxHeap.empty();
/* 输入列表并建堆 */
vector
priority_queue
堆的存储与表示¶
我们在二叉树章节中学习到，完全二叉树非常适合用数组来表示。由于堆正是一种完全二叉树，我们将采用数组来存储堆。
当使用数组表示二叉树时，元素代表节点值，索引代表节点在二叉树中的位置。节点指针通过索引映射公式来实现。
给定索引 i ，其左子节点索引为 2i+1 ，右子节点索引为2i+2 ，父节点索引为
(i-1)/2（向下取整）。当索引越界时，表示空节点或节点不存在。
我们可以将索引映射公式封装成函数，方便后续使用。
/* 获取左子节点索引 */
int left(int i) {
return 2 * i + 1;
}
/* 获取右子节点索引 */
int right(int i) {
return 2 * i + 2;
}
/* 获取父节点索引 */
int parent(int i) {
return (i - 1) / 2; // 向下取整
}
堆顶元素即为二叉树的根节点，也就是列表的首个元素。
/* 访问堆顶元素 */
int peek() {
return maxHeap[0];
}
给定元素val，我们首先将其添加到堆底。添加之后，由于 val 可能大于堆中其他元素，堆的成立条件可能已被破坏。因此，需要修复从插入节点到根节点的路径上的各个节点，这个操作被称为「堆化 heapify」。
考虑从入堆节点开始，从底至顶执行堆化。如图所示，我们比较插入节点与其父节点的值，如果插入节点更大，则将它们交换。然后继续执行此操作，从底至顶修复堆中的各个节点，直至越过根节点或遇到无须交换的节点时结束。
用人话来说，就是在数组后面加一个元素val，val通过索引来与它的父节点进行比较，它比父节点大，他们就进行交换。直到不能交换为止。
/* 元素入堆 */
void push(int val) {
// 添加节点
maxHeap.push_back(val);
// 从底至顶堆化
siftUp(size() - 1);
}
/* 从节点 i 开始，从底至顶堆化 */
void siftUp(int i) {
while (true) {
// 获取节点 i 的父节点
int p = parent(i);
// 当“越过根节点”或“节点无须修复”时，结束堆化
if (p < 0 || maxHeap[i] <= maxHeap[p])
break;
// 交换两节点
swap(maxHeap[i], maxHeap[p]);
// 循环向上堆化
i = p;
}
}
堆顶元素是二叉树的根节点，即列表首元素。如果我们直接从列表中删除首元素，那么二叉树中所有节点的索引都会发生变化，这将使得后续使用堆化修复变得困难。为了尽量减少元素索引的变动，我们采用以下操作步骤。
交换堆顶元素与堆底元素（即交换根节点与最右叶节点）。
交换完成后，将堆底从列表中删除（注意，由于已经交换，实际上删除的是原来的堆顶元素）。
从根节点开始，从顶至底执行堆化。
如图 所示，“从顶至底堆化”的操作方向与“从底至顶堆化”相反，我们将根节点的值与其两个子节点的值进行比较，将最大的子节点与根节点交换。然后循环执行此操作，直到越过叶节点或遇到无须交换的节点时结束。
简单点来说，因为我们是用优先队列存储的，我们要删除根节点时，要先把堆低的节点与跟节点交换，在进行反向的堆化，即父节点与两个子节点比较，取最大的子节点与父节点交换，并持续下去。
下面是删除根节点的代码演示：
/* 元素出堆 */
void pop() {
// 判空处理
if (isEmpty()) {
throw out_of_range("堆为空");
}
// 交换根节点与最右叶节点（即交换首元素与尾元素）
swap(maxHeap[0], maxHeap[size() - 1]);
// 删除节点
maxHeap.pop_back();
// 从顶至底堆化
siftDown(0);
}
/* 从节点 i 开始，从顶至底堆化 */
void siftDown(int i) {
while (true) {
// 判断节点 i, l, r 中值最大的节点，记为 ma
int l = left(i), r = right(i), ma = i;
if (l < size() && maxHeap[l] > maxHeap[ma])
ma = l;
if (r < size() && maxHeap[r] > maxHeap[ma])
ma = r;
// 若节点 i 最大或索引 l, r 越界，则无须继续堆化，跳出
if (ma == i)
break;
swap(maxHeap[i], maxHeap[ma]);
// 循环向下堆化
i = ma;
}
}
堆排序： 特点：1.完全二叉树。2.满足父节点大于子节点。
完全二叉树：增加元素是增加到最底层的最右边。
#include
#include
using namespace std;
//堆的实现
void heapify(vector
if(i >= n)
return;
int c1 = 2*i + 1;
int c2 = 2*i + 2;
int max = i;
if(c1 < n && tree[c1] > tree[max])
max = c1;
if(c2 < n && tree[c2] > tree[max])
max = c2;
if(max!= i){
swap(tree[i],tree[max]);
heapify(tree,n,max);
}
}
void build_heap(vector
int last_node = n - 1;
int parent = (last_node - 1) % n;
while(parent >= 0){
heapify(tree,n,parent);
parent--;
}
}
void heap_sort(vector
int n = tree.size();
build_heap(tree,n);
for(int i = n - 1;i > 0;i--){
swap(tree[0],tree[i]);
heapify(tree,i,0);
}
}
int main(){
vector
build_heap(tree,tree.size());
for(int i = 0;i < tree.size();i++){
cout< } puts("堆排序--------"); heap_sort(tree); for(int i = 0;i < tree.size();i++){ cout< } return 0; } 好文阅读
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