完全背包又是也是01背包稍作变化而来，即：完全背包的物品数量是无限的。
01 背包 有n件物品和一个最多能背重量为w 的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品只能用一次，求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。
确定dp数组以及下标的含义 对于背包问题，有一种写法， 是使用二维数组，即dp[i][j] 表示从下标为[0-i]的物品里任意取，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少。 确定递推公式 那么可以有两个方向推出来dp[i][j]，
不放物品i：由dp[i - 1][j]推出，即背包容量为j，里面不放物品i的最大价值，此时dp[i][j]就是dp[i - 1][j]。(其实就是当物品i的重量大于背包j的重量时，物品i无法放进背包中，所以被背包内的价值依然和前面相同。) 放物品i：由dp[i - 1][j - weight[i]]推出，dp[i - 1][j - weight[i]] 为背包容量为j - weight[i]的时候不放物品i的最大价值，那么dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i] （物品i的价值），就是背包放物品i得到的最大价值 所以递归公式： dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]); 3. dp数组如何初始化 关于初始化，一定要和dp数组的定义吻合，否则到递推公式的时候就会越来越乱。 首先从dp[i][j]的定义出发，如果背包容量j为0的话，即dp[i][0]，无论是选取哪些物品，背包价值总和一定为0。
再看其他情况。
状态转移方程 dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]); 可以看出i 是由 i-1 推导出来，那么i为0的时候就一定要初始化。 dp[0][j]，即：i为0，存放编号0的物品的时候，各个容量的背包所能存放的最大价值。 那么很明显当 j < weight[0]的时候，dp[0][j] 应该是 0，因为背包容量比编号0的物品重量还小。 当j >= weight[0]时，dp[0][j] 应该是value[0]，因为背包容量放足够放编号0物品。
dp[0][j] 和 dp[i][0] 都已经初始化了，那么其他下标应该初始化多少呢？
其实从递归公式： dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]); 可以看出dp[i][j] 是由左上方数值推导出来了，那么 其他下标初始为什么数值都可以，因为都会被覆盖。 初始-1，初始-2，初始100，都可以！ 但只不过一开始就统一把dp数组统一初始为0，更方便一些。 4. 确定遍历顺序 在如下图中，可以看出，有两个遍历的维度：物品与背包重量
那么问题来了，先遍历 物品还是先遍历背包重量呢？ 其实都可以！！ 但是先遍历物品更好理解。
def test_2_wei_bag_problem1(bag_size, weight, value) -> int:
rows, cols = len(weight), bag_size + 1
dp = [[0 for _ in range(cols)] for _ in range(rows)]
# 初始化dp数组.
for i in range(rows):
dp[i][0] = 0
first_item_weight, first_item_value = weight[0], value[0]
for j in range(1, cols):
if first_item_weight <= j:
dp[0][j] = first_item_value
# 更新dp数组: 先遍历物品, 再遍历背包.
for i in range(1, len(weight)):
cur_weight, cur_val = weight[i], value[i]
for j in range(1, cols):
if cur_weight > j: # 说明背包装不下当前物品.
dp[i][j] = dp[i - 1][j] # 所以不装当前物品.
else:
# 定义dp数组: dp[i][j] 前i个物品里，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少。
dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - cur_weight]+ cur_val)
print(dp)
01背包理论基础（滚动数组） 对于背包问题其实状态都是可以压缩的。
在使用二维数组的时候，递推公式：dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
其实可以发现如果把dp[i - 1]那一层拷贝到dp[i]上，表达式完全可以是：dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][j - weight[i]] + value[i]);
与其把dp[i - 1]这一层拷贝到dp[i]上，不如只用一个一维数组了，只用dp[j]（一维数组，也可以理解是一个滚动数组）。
这就是滚动数组的由来，需要满足的条件是上一层可以重复利用，直接拷贝到当前层。
确定dp数组的定义 在一维dp数组中，dp[j]表示：容量为j的背包，所背的物品价值可以最大为dp[j]。一维dp数组的递推公式 dp[j]为 容量为j的背包所背的最大价值，那么如何推导dp[j]呢？
dp[j]可以通过dp[j - weight[i]]推导出来，dp[j - weight[i]]表示容量为j - weight[i]的背包所背的最大价值。
dp[j - weight[i]] + value[i] 表示 容量为 j - 物品i重量 的背包 加上 物品i的价值。（也就是容量为j的背包，放入物品i了之后的价值即：dp[j]）
此时dp[j]有两个选择，一个是取自己dp[j] 相当于 二维dp数组中的dp[i-1][j]，即不放物品i，一个是取dp[j - weight[i]] + value[i]，即放物品i，指定是取最大的，毕竟是求最大价值，
所以递归公式为：
dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]); 可以看出相对于二维dp数组的写法，就是把dp[i][j]中i的维度去掉了。 3. 一维dp数组如何初始化 关于初始化，一定要和dp数组的定义吻合，否则到递推公式的时候就会越来越乱。
dp[j]表示：容量为j的背包，所背的物品价值可以最大为dp[j]，那么dp[0]就应该是0，因为背包容量为0所背的物品的最大价值就是0。
那么dp数组除了下标0的位置，初始为0，其他下标应该初始化多少呢？
看一下递归公式：dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
dp数组在推导的时候一定是取价值最大的数，如果题目给的价值都是正整数那么非0下标都初始化为0就可以了。
这样才能让dp数组在递归公式的过程中取的最大的价值，而不是被初始值覆盖了。
那么我假设物品价值都是大于0的，所以dp数组初始化的时候，都初始为0就可以了。 4. 一维dp数组遍历顺序 代码如下：
for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品 for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j–) { // 遍历背包容量 dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
}
} 这里大家发现和二维dp的写法中，遍历背包的顺序是不一样的！
二维dp遍历的时候，背包容量是从小到大，而一维dp遍历的时候，背包是从大到小。
为什么呢？
倒序遍历是为了保证物品i只被放入一次！。但如果一旦正序遍历了，那么物品0就会被重复加入多次！
举一个例子：物品0的重量weight[0] = 1，价值value[0] = 15
如果正序遍历
dp[1] = dp[1 - weight[0]] + value[0] = 15
dp[2] = dp[2 - weight[0]] + value[0] = 30
此时dp[2]就已经是30了，意味着物品0，被放入了两次，所以不能正序遍历。
为什么倒序遍历，就可以保证物品只放入一次呢？
倒序就是先算dp[2]
dp[2] = dp[2 - weight[0]] + value[0] = 15 （dp数组已经都初始化为0）
dp[1] = dp[1 - weight[0]] + value[0] = 15
所以从后往前循环，每次取得状态不会和之前取得状态重合，这样每种物品就只取一次了。
那么问题又来了，为什么二维dp数组历的时候不用倒序呢？
因为对于二维dp，dp[i][j]都是通过上一层即dp[i - 1][j]计算而来，本层的dp[i][j]并不会被覆盖！
（如何这里读不懂，大家就要动手试一试了，空想还是不靠谱的，实践出真知！）
再来看看两个嵌套for循环的顺序，代码中是先遍历物品嵌套遍历背包容量，那可不可以先遍历背包容量嵌套遍历物品呢？
不可以！
因为一维dp的写法，背包容量一定是要倒序遍历（原因上面已经讲了），如果遍历背包容量放在上一层，那么每个dp[j]就只会放入一个物品，即：背包里只放入了一个物品。
倒序遍历的原因是，本质上还是一个对二维数组的遍历，并且右下角的值依赖上一层左上角的值，因此需要保证左边的值仍然是上一层的，从右向左覆盖。
（这里如果读不懂，就再回想一下dp[j]的定义，或者就把两个for循环顺序颠倒一下试试！）
所以一维dp数组的背包在遍历顺序上和二维其实是有很大差异的！，这一点大家一定要注意。
转化为0-1背包需要确定的点 背包的体积 每个原始的重量、每个元素的价值 优化条件 背包中每一个元素是不可重复放入
分割等和子集 只有确定了如下四点，才能把01背包问题套到本题上来。
背包的体积为sum / 2 背包要放入的商品（集合里的元素）重量为 元素的数值，价值也为元素的数值 背包如果正好装满，说明找到了总和为 sum / 2 的子集。 背包中每一个元素是不可重复放入。
确定dp数组以及下标的含义 01背包中，dp[j] 表示： 容量为j的背包，所背的物品价值最大可以为dp[j]。
本题中每一个元素的数值既是重量，也是价值。
套到本题，dp[j]表示 背包总容量（所能装的总重量）是j，放进物品后，背的最大重量为dp[j]。
那么如果背包容量为target， dp[target]就是装满 背包之后的重量，所以 当 dp[target] == target 的时候，背包就装满了。 2. 确定递推公式 01背包的递推公式为：dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
本题，相当于背包里放入数值，那么物品i的重量是nums[i]，其价值也是nums[i]。
所以递推公式：dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]); 3. dp数组如何初始化 在01背包，一维dp如何初始化，已经讲过，
从dp[j]的定义来看，首先dp[0]一定是0。
如果题目给的价值都是正整数那么非0下标都初始化为0就可以了，如果题目给的价值有负数，那么非0下标就要初始化为负无穷。
这样才能让dp数组在递推的过程中取得最大的价值，而不是被初始值覆盖了。
本题题目中 只包含正整数的非空数组，所以非0下标的元素初始化为0就可以了。 4. 确定遍历顺序 在动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！（滚动数组） (opens new window)中就已经说明：如果使用一维dp数组，物品遍历的for循环放在外层，遍历背包的for循环放在内层，且内层for循环倒序遍历！
# 二维度数组解法
class Solution:
def canPartition(self, nums: List[int]) -> bool:
target = sum(nums)
# 做最初的判断
if target % 2 != 0:
return False
# 找到 target value 可以认为这个是背包的体积
target = target // 2
row = len(nums)
col = target + 1
# 定义 dp table
dp = [[0 for _ in range(col)] for _ in range(row)]
# 初始 dp value
for i in range(row):
dp[i][0] = 0
for j in range(1, target):
if nums[0] <= j:
dp[0][j] = nums[0]
# 遍历 先遍历物品再遍历背包
for i in range(1, row):
cur_weight = nums[i]
cur_value = nums[i]
for j in range(1, col):
if cur_weight > j:
dp[i][j] = dp[i - 1][j]
else:
dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - cur_weight] + cur_value)
# 输出结果
return dp[row - 1][col - 1] == target
最后一块石头的重量 II
class Solution:
def lastStoneWeightII(self, stones: List[int]) -> int:
stones = sorted(stones)
if len(stones) == 1:
return stones[0]
if len(stones) == 2:
return stones[1] - stones[0]
sum_all = int(sum(stones) / 2) # 背包总重量
row = len(stones)
col = sum_all + 1
dp = [[0 for _ in range(col)] for _ in range(row)]
for i in range(0, row):
dp[i][0] = 0
for j in range(1, col):
if stones[0] <= j:
dp[0][j] = stones[0]
print(dp)
for i in range(1, row):
cur_weight = stones[i]
cur_value = stones[i]
for j in range(1, col):
if cur_weight > j:
dp[i][j] = dp[i - 1][j]
else:
dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-cur_weight]+cur_value)
sum1 = dp[row-1][col-1]
sum2 = sum(stones) - sum1
print(dp)
return sum2 - sum1
目标和 本题要如何使表达式结果为target，
既然为target，那么就一定有 left组合 - right组合 = target。
left + right = sum，而sum是固定的。right = sum - left
公式来了， left - (sum - left) = target 推导出 left = (target + sum)/2 。
target是固定的，sum是固定的，left就可以求出来。
此时问题就是在集合nums中找出和为left的组合。
确定dp数组以及下标的含义 dp[j] 表示：填满j（包括j）这么大容积的包，有dp[j]种方法
其实也可以使用二维dp数组来求解本题，dp[i][j]：使用 下标为[0, i]的nums[i]能够凑满j（包括j）这么大容量的包，有dp[i][j]种方法。
确定递推公式 有哪些来源可以推出dp[j]呢？
只要搞到nums[i]），凑成dp[j]就有dp[j - nums[i]] 种方法。
例如：dp[j]，j 为5，
已经有一个1（nums[i]） 的话，有 dp[4]种方法 凑成 容量为5的背包。 已经有一个2（nums[i]） 的话，有 dp[3]种方法 凑成 容量为5的背包。 已经有一个3（nums[i]） 的话，有 dp[2]中方法 凑成 容量为5的背包 已经有一个4（nums[i]） 的话，有 dp[1]中方法 凑成 容量为5的背包 已经有一个5 （nums[i]）的话，有 dp[0]中方法 凑成 容量为5的背包 那么凑整dp[5]有多少方法呢，也就是把 所有的 dp[j - nums[i]] 累加起来。
所以求组合类问题的公式，都是类似这种：
dp[j] += dp[j - nums[i]] 这个公式在后面在讲解背包解决排列组合问题的时候还会用到！ 3. dp数组如何初始化 从递推公式可以看出，在初始化的时候dp[0] 一定要初始化为1，因为dp[0]是在公式中一切递推结果的起源，如果dp[0]是0的话，递推结果将都是0。
这里有录友可能认为从dp数组定义来说 dp[0] 应该是0，也有录友认为dp[0]应该是1。
其实不要硬去解释它的含义，咱就把 dp[0]的情况带入本题看看应该等于多少。
如果数组[0] ，target = 0，那么 bagSize = (target + sum) / 2 = 0。 dp[0]也应该是1， 也就是说给数组里的元素 0 前面无论放加法还是减法，都是 1 种方法。
所以本题我们应该初始化 dp[0] 为 1。
可能有同学想了，那 如果是 数组[0,0,0,0,0] target = 0 呢。
其实 此时最终的dp[0] = 32，也就是这五个零 子集的所有组合情况，但此dp[0]非彼dp[0]，dp[0]能算出32，其基础是因为dp[0] = 1 累加起来的。
dp[j]其他下标对应的数值也应该初始化为0，从递推公式也可以看出，dp[j]要保证是0的初始值，才能正确的由dp[j - nums[i]]推导出来。 4. 确定遍历顺序 在动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！（滚动数组） (opens new window)中，我们讲过对于01背包问题一维dp的遍历，nums放在外循环，target在内循环，且内循环倒序。
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