http://www.cnblogs.com/wuyiqi/archive/2012/04/08/2437424.html
主要是利用了反证法:
假设 s-t这条路径为树的直径,或者称为树上的最长路
现有结论,从任意一点u出发搜到的最远的点一定是s、t中的一点,然后在从这个最远点开始搜,就可以搜到另一个最长路的端点,即用两遍广搜就可以找出树的最长路
证明:
1 设u为s-t路径上的一点,结论显然成立,否则设搜到的最远点为T则
dis(u,T) >dis(u,s) 且 dis(u,T)>dis(u,t) 则最长路不是s-t了,与假设矛盾
2 设u不为s-t路径上的点
首先明确,假如u走到了s-t路径上的一点,那么接下来的路径肯定都在s-t上了,而且终点为s或t,在1中已经证明过了
所以现在又有两种情况了:
1:u走到了s-t路径上的某点,假设为X,最后肯定走到某个端点,假设是t ,则路径总长度为dis(u,X)+dis(X,t)
2:u走到最远点的路径u-T与s-t无交点,则dis(u-T) >dis(u,X)+dis(X,t);显然,如果这个式子成立,
则dis(u,T)+dis(s,X)+dis(u,X)>dis(s,X)+dis(X,t)=dis(s,t)最长路不是s-t矛盾
附上一张第二种情况的图
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2024-06-15 15:32:16回复
1. 设u为s-t路径上的一点,结论显然成立,否则设搜到的最远点为T,则dis(u,T) > dis(u,s)且dis(u,T)>dis(u,t),则最长路不是s-t,与假设矛盾。
2. 设u不为s-t路径上的点,首先明确,假如u走到了s-t路径上的某点X,最后肯定走到某个端点,假设是t,则路径总长度为dis(u,X)+dis(X,t)。
3. 另一种情况是u走到最远点的路径u-T与s-t无交点,此时,dis(u-T) > dis(u,X)+dis(X,t),如果这个式子成立,则dis(u,T)+dis(s,X)+dis(u,X)>dis(s,X)+dis(X,t)=dis(s,t),最长路不是s-t,矛盾。
通过反证法证明了从任意一点出发可以搜到最远的点一定是s或t。