状态压缩 C++深度优先搜索(DFS)算法的应用：树中可以形成回文的路径数

本文涉及知识点

深度优先搜索(DFS) 状态压缩

题目

给你一棵 树（即，一个连通、无向且无环的图），根 节点为 0 ，由编号从 0 到 n - 1 的 n 个节点组成。这棵树用一个长度为 n 、下标从 0 开始的数组 parent 表示，其中 parent[i] 为节点 i 的父节点，由于节点 0 为根节点，所以 parent[0] == -1 。 另给你一个长度为 n 的字符串 s ，其中 s[i] 是分配给 i 和 parent[i] 之间的边的字符。s[0] 可以忽略。 找出满足 u < v ，且从 u 到 v 的路径上分配的字符可以 重新排列 形成 回文 的所有节点对 (u, v) ，并返回节点对的数目。 如果一个字符串正着读和反着读都相同，那么这个字符串就是一个 回文 。 示例 1： 输入：parent = [-1,0,0,1,1,2], s = “acaabc” 输出：8 解释：符合题目要求的节点对分别是：

(0,1)、(0,2)、(1,3)、(1,4) 和 (2,5) ，路径上只有一个字符，满足回文定义。(2,3)，路径上字符形成的字符串是 “aca” ，满足回文定义。(1,5)，路径上字符形成的字符串是 “cac” ，满足回文定义。(3,5)，路径上字符形成的字符串是 “acac” ，可以重排形成回文 “acca” 。 示例 2： 输入：parent = [-1,0,0,0,0], s = “aaaaa” 输出：10 解释：任何满足 u < v 的节点对 (u,v) 都符合题目要求。 参数提示 n == parent.length == s.length 1 <= n <= 105 对于所有 i >= 1 ，0 <= parent[i] <= n - 1 均成立 parent[0] == -1 parent 表示一棵有效的树 s 仅由小写英文字母组成

解法一稍稍超时，通过不了

分析

状态压缩

排序后能构成回文，那只有两种可能，一：所有字符数量都为偶数。二，有一个字符数量为奇数，其余全部是偶数。可以用二进制状态压缩，每个二进制位表示某个字符是否为偶数。1表示z是奇数数量,2表示y是奇数数量,3表示yz都是奇数数量。

异或（^)

增加一个字符可以用异或操作，由于异或的逆操作就是自己，所以删除字符也用异或。

难理解的地方

mNums记录以下路径：

一起点和终点都是cur的路径二起点是cur，终点是已处理子树的任意节点

childNums：记录以child为起点，以child为根节点的子树的任意节点为终点的路径。

下面以{-1,0,0}来说明，由于起点是固定的，所以下表只记录终点。路径指的是：以child子树中的节点为起点，以mNums中的节点为终点的路径

mNumschildNums路径处理根节点{0}{}处理节点1{0}{1}{0,1}处理节点2{0,1}{2}{0,2},{1,2}{0,1,2}

总结：第四列的路径，就是mNums 和childNums 各取一个节点的两两组合。

注意： 一个节点没有字符，所以不是合法路径。

ChangeNum

不要枚举mNums 和childNums ，枚举其中的一个和27种合法可能。

核心代码

class Solution { public: long long countPalindromePaths(vector& parent, string s) { m_c = parent.size(); m_str = s; m_vNeiBo.assign(m_c, vector()); for (int i = 0; i < 26; i++) { m_iVilidMask[i] = 1 << i; } m_llRet = 0; int iRoot = -1; for (int i = 0; i < m_c; i++) { if (-1 == parent[i]) { iRoot = i; } else { m_vNeiBo[parent[i]].emplace_back(i); } } std::unordered_map mNums; dfs(iRoot, mNums); return m_llRet ; } void dfs(int cur, std::unordered_map& mNums) { const int curMask = 1 << (m_str[cur] - ‘a’); mNums[curMask]++; for (const auto& child : m_vNeiBo[cur]) { std::unordered_map childNums; dfs(child, childNums); ChangeNum(mNums, childNums,curMask); for (const auto& it : childNums) { mNums[it.first ^ curMask] += it.second; } } } void ChangeNum(const std::unordered_map& mNums, const std::unordered_map& childNums, const int curMask ) { for (const auto& it : childNums) { for (int i = 0; i < 27; i++) { const int iNeedMask = it.first ^ m_iVilidMask[i] ^ curMask; if (mNums.count(iNeedMask)) { m_llRet += (long long)it.second * mNums.find(iNeedMask)->second; } } } } //状态压缩 1表示z是奇数数量,2表示y是奇数数量,3表示yz都是奇数数量 int m_iVilidMask[27] = { 0 };//记录所有字符都是偶数和只有一个字符是奇数 vector m_vNeiBo; //vector m_vNums; int m_c; long long m_llRet = 0;//不包括单节点的合法路径数 string m_str; };

测试用例

template void Assert(const vector& v1, const vector& v2) { if (v1.size() != v2.size()) { assert(false); return; } for (int i = 0; i < v1.size(); i++) { Assert(v1[i], v2[i]); } }

int main() { Solution slu; vector parent; long long res; string s; parent = { -1 }; s = “a”; res = slu.countPalindromePaths(parent, s); Assert(res, 0LL); parent = { -1,0 }; s = “aa”; res = slu.countPalindromePaths(parent, s); Assert(res, 1LL); parent = { -1,0,1 }; s = “aaa”; res = slu.countPalindromePaths(parent, s); Assert(res, 3LL); parent = { -1,0,0 }; s = “aaa”; res = slu.countPalindromePaths(parent, s); Assert(res, 3LL); parent = { -1,0,0 }; s = “aba”; res = slu.countPalindromePaths(parent, s); Assert(res,2LL); parent = { -1,0,0 }; s = “baa”; res = slu.countPalindromePaths(parent, s); Assert(res, 3LL); parent = { -1,0,0,1,1,2 }; s = “acaabc”; res = slu.countPalindromePaths(parent, s); Assert(res, 8LL); parent = { -1, 0, 0, 0, 0 }; s = “aaaaa”; res = slu.countPalindromePaths(parent, s); Assert(res, 10LL);

//CConsole::Out(res);

}

解法二

分析

假定节点A,B的公共最近祖先是C，那么A到B的路径为:A->C->B和路径A->0->B的 字符数量的奇偶性相同。A->0可以拆分成A->C->0 ，0->B可以拆分成0->C->B。0到C和C到0抵消了。 ###　时间复杂度 o(27n)。n是节点数量,27是合法掩码的数量。

代码

class Solution{

public:

long long countPalindromePaths(vector&parent, string s) {

m_c = parent.size();

m_str = s;

m_vNeiBo.assign(m_c, vector());

for (int i = 0; i < 26; i++)

{

m_iVilidMask[i] = 1 << i;

}

m_llRet = 0;

m_mMaskNums.clear();

int iRoot = -1;

for (int i = 0; i < m_c; i++)

{

if (-1 == parent[i])

{

iRoot = i;

}

else

{

m_vNeiBo[parent[i]].emplace_back(i);

}

}

dfs(iRoot,0);

return m_llRet;

}

void dfs(int cur,int iMask)

{

const int curMask = iMask ^ ( 1 << (m_str[cur] - 'a'));

for (int i = 0; i < 27; i++)

{

const int iNeedMask = m_iVilidMask[i] ^ curMask;

if (m_mMaskNums.count(iNeedMask))

{

m_llRet += m_mMaskNums[iNeedMask];

}

}

m_mMaskNums[curMask]++;

for (const auto& child : m_vNeiBo[cur])

{

dfs(child, curMask);

}

}

int m_iVilidMask[27] = { 0 };//记录所有字符都是偶数和只有一个字符是奇数

vector> m_vNeiBo;

std::unordered_map m_mMaskNums;

int m_c;

long long m_llRet = 0;//不包括单节点的合法路径数

string m_str;

};

扩展阅读

视频课程

有效学习：明确的目标 及时的反馈 拉伸区（难度合适），可以先学简单的课程，请移步CSDN学院，听白银讲师（也就是鄙人）的讲解。 https://edu.csdn.net/course/detail/38771

如何你想快速形成战斗了，为老板分忧，请学习C#入职培训、C++入职培训等课程 https://edu.csdn.net/lecturer/6176

相关下载

想高屋建瓴的学习算法，请下载《闻缺陷则喜算法册》doc版 https://download.csdn.net/download/he_zhidan/88348653

鄙人想对大家说的话闻缺陷则喜是一个美好的愿望，早发现问题，早修改问题，给老板节约钱。墨家名称的来源：有所得以墨记之。如果程序是一条龙，那算法就是他的是睛

测试环境

操作系统：win7 开发环境： VS2019 C++17 或者 操作系统：win10 开发环境： VS2022 C++17

相关阅读