1305 Freda的道路
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题目等级: 大师 Master
题目描写叙述 Description
Freda要到Rainbow的城堡去玩了。我们能够觉得两座城堡位于同一条数轴上。Freda的城堡坐标是0，Rainbow的城堡坐标是N。正常情况下，Freda会朝着同一个方向（即Rainbow的城堡相对于Freda的城堡的方向）走若干步之后来到Rainbow的城堡。并且步长都为1或2。但是。今天Freda在途中遇见了来自上海的小猫Resodo，惊奇之下，竟然有一步走反了方向！只是。Freda并没有神智不清。它仅仅有一步走反了方向， 并且这一步的步长也是1或2. 同一时候，Freda并不会路过Rainbow的城堡而不停下来。当然，Freda是在途中遇到Resodo的。所以它不会在 自己家门口就走错方向。
举个例子。假设Rainbow的城堡坐标是3，那么以下两条路径是合法的：
0->1->2->1->3
0->1->-1->1->3
当然，还有其他的合法路径。以下这些路径则是不合法的：
0->-1->1->3 （Freda不可能第一步就走错方向）
0->1->3（Freda一定是有一步走错方向的）
0->2->1->0->2->3（Freda仅仅有一步是走错方向的）
0->-1->0->3（Freda每步的长度一定是1或2）
0->1->2->4->3（Freda不会越过Rainbow的城堡再回来）
0 -> 1 -> 2 -> 3 -> 2 -> 3（Freda一旦到达了Rainbow的城堡，就会停下来）
你如今须要帮助Freda求出。它一共同拥有多少种方法能够到达Rainbow的城堡呢？
输入描写叙述 Input Description
一行一个整数N，表示Rainbow城堡的坐标
输出描写叙述 Output Description
一行一个整数，表示Freda到Rainbow城堡的不同路径数。
由于这个数字可能非常大。你仅仅须要输出它mod 1000000007的结果。
例子输入 Sample Input
2
例子输出 Sample Output
5
数据范围及提示 Data Size & Hint
对于第一组例子，例如以下5条路径是合法的：
0->1->0->2
0->1->-1->0->1->2
0->1->-1->0->2
0->1->0->1->2
0->1->-1->1->2
数据范围与约定
对于10%的数据，N<=20.
对于70%的数据，N<=1000.
对于90%的数据，N<=1000000.
对于100%的数据。N<=10^15.
题解：
由于是讨论路径个数。所以首先想到的是dp。
设f[i]表示在不回头的情况下到达的路径数，g[i]表示在一次回头的情况下到达的路径数。
由题意可知：
f[i]=f[i-2]+f[i-1]（当前仅仅能从两步前或是一步前转移来），即Fibonacci数列。
接下来考虑g[i]。发现g[i]由四种情况转移过来，即：
1>g[i-2]（在转过的情况下。由两步前走来）
2>g[i-1]（在转过的情况下。由一步前走来）
3>f[i+1]（一步以后转回来）
4>f[i+2]（两步以后转回来）
于是可得转移方程：
g[i]=g[i-2]+g[i-1]+f[i+1]+f[i+2]
裸的dp可得90 。。。最后一个点是极限数据，DP做不到。于是想到了矩阵乘。
对于以下两个矩阵：
A⎡⎣⎢⎢⎢0,1,0,01,1,1,10,0,0,10,0,1,1⎤⎦⎥⎥⎥
B⎡⎣⎢⎢⎢⎢g[n−2]g[n−1]f[n+1]f[n+2]⎤⎦⎥⎥⎥⎥
g[n]能够这样求得：
A∗B=C⎡⎣⎢⎢⎢⎢g[n−1]g[n]f[n+2]f[n+3]⎤⎦⎥⎥⎥⎥
于是我们能够这样求解g[n]：
An−2∗⎡⎣⎢⎢⎢⎢g[1]g[2]f[4]f[5]⎤⎦⎥⎥⎥⎥
Code：
DP：
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#define p 1000000007LL
using namespace std;
long long n,f[1000010],g[1000010];
int main(){
scanf("%d",&n);
if (n==1){
printf("0\n");
return 0;
}
f[1]=f[2]=g[0]=g[1]=1;
for (int i=3; i<=n+1; i++)
f[i]=(f[i-1]+f[i-2])%p;
for (int i=2; i<=n+1; i++)
g[i]=(g[i-2]+g[i-1]+f[i+1]+f[i+2])%p;
printf("%d\n",g[n+1]);
return 0;
}
矩阵乘：
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#define p 1000000007LL
using namespace std;
long long A[4][4]={{0,1,0,0},{1,1,1,1},{0,0,0,1},{0,0,1,1}};
long long B[4][4],C[4][4];
int main(){
long long n; bool f=true;
scanf("%lld",&n);
if (n<=2){
if (n==1) printf("0\n");
else printf("5\n");
return 0;
}
n-=2;
while (n){
if (n&1){
if (f){
for (int i=0; i<4; i++)
for (int j=0; j<4; j++)
B[i][j]=A[i][j];
f=false;
}
else {
memset(C,0,sizeof(C));
for (int i=0; i<4; i++)
for (int j=0; j<4; j++)
for (int k=0; k<4; k++)
C[i][j]=(C[i][j]+B[i][k]*A[k][j])%p;
for (int i=0; i<4; i++)
for (int j=0; j<4; j++)
B[i][j]=C[i][j];
}
}
n>>=1;
memset(C,0,sizeof(C));
for (int i=0; i<4; i++)
for (int j=0; j<4; j++)
for (int k=0; k<4; k++)
C[i][j]=(C[i][j]+A[i][k]*A[k][j])%p;
for (int i=0; i<4; i++)
for (int j=0; j<4; j++)
A[i][j]=C[i][j];
}
long long ans=(B[1][1]*5%p+B[1][2]*5%p+B[1][3]*8%p)%p;
printf("%lld\n",ans);
return 0;
}
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