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标准化流程平行假设检验效果评估安慰剂检验

标准化流程

此前的文章介绍了双重差分法(difference-in-differences,DID)的原理,并说明了其是算法策略效果评估的有效方案之一。本文将主要描述DID的标准化流程,以及如何使用stata代码实现全流程。

先上标准化流程的全景图,然后再逐一理解。作为对比,此前文章里的代码只是实现了第二层中的“基本DID”模块。

在标准化流程中,一共包含三个模块:第一个模块是平行假设检验,主要任务是确保对照组和实验组在算法策略干预前,指标的变化趋势相同,这是DID的最基本前提;第二个模块是效果评估,旨在通过DID的演算,量化算法策略对指标的影响和显著性水平;第三个模块是安慰剂检验,其目标是检验效果评估模型中的结果是否受到了其他因素的影响。

安慰剂检验,这个名字乍一看,挺奇怪的,稍微解释一下。安慰剂多用于医学,通常是指病人虽然获得无效的治疗,但却让其 “预料” 或 “相信” 治疗有效,而让病患症状得到舒缓的现象。此处使用主要是为了避免实验组出现安慰剂效应,影响实验结果。

平行假设检验

绘制趋势图就是把对照组和实验组指标的历史变化趋势绘制出来,然后根据个人经验判断两者的变化趋势是否相同。该方法较为主观,不符合理工科的严谨习惯,因此本节主要介绍事件研究法。

先回顾一下DID的基本模型

Y

i

t

=

α

+

δ

D

i

+

λ

T

t

+

β

(

D

i

×

T

t

)

+

ϵ

i

t

Y_{it}=\alpha+\delta D_i+\lambda T_t+\beta(D_i \times T_t)+\epsilon_{it}

Yit​=α+δDi​+λTt​+β(Di​×Tt​)+ϵit​ 为了做平行假设检验,需要将模型调整为

Y

i

t

=

α

+

δ

D

i

+

λ

T

t

+

β

(

D

i

×

T

t

)

+

μ

i

y

e

a

r

i

×

D

i

+

ϵ

i

t

Y_{it}=\alpha+\delta D_i+\lambda T_t+\beta(D_i \times T_t)+\sum{\mu_i·year_i \times D_i}+\epsilon_{it}

Yit​=α+δDi​+λTt​+β(Di​×Tt​)+∑μi​⋅yeari​×Di​+ϵit​ 相比基本模型,该项多了

μ

i

y

e

a

r

i

×

D

i

\sum{\mu_i·year_i \times D_i}

∑μi​⋅yeari​×Di​。此处,

y

e

a

r

i

year_i

yeari​为时间虚拟变量,当年观测年为1,其他年份为0;

μ

i

\mu_i

μi​是对应的系数值。

做平行假设检验,主要看

μ

i

\mu_i

μi​是否显著不为0:如果至少一个值显著不为0,那么认为不满足平行假设检验;反之,则满足平行假设检验。

本文使用普林斯顿大学构造的DID数据:A、B、C、D、E、F和G是非常相似的7个地区,E、F和G三地在1994年实行了一项新政策,而A、B、C和D则没有实行,目标是评估新政策对指标y的影响。

以下为政策实施前的数据:

以下代码可以实现对

μ

i

\mu_i

μi​的计算,并且绘制平行检验的结果。

gen period = (year>=1994) & !missing(year) // 生成时间虚拟变量,1994年前为0,反之为1

gen treat = (country>4) & !missing(country) // 生成区域的虚拟变量,干预为1,反之为0

gen did = period * treat // 生成交叉项

// 如果i = 1(1)4,后续绘图时,pre_i的顺序会不一致

gen policy = year - 1994

forvalues i = 4(-1)1{

gen pre_`i' = (policy == -`i' & treat == 1)

}

// 回归计算

xtreg y pre_*, fe r

// 绘制曲线图

est sto reg

coefplot reg, keep(pre_*) vertical recast(connect) yline(0)

先看一下

μ

i

\mu_i

μi​的结算结果:分别对应pre_4、pre_3和pre_2行、P>|t|列的数值,即0.442,0.369和0.602。这三个值均大于0.05,所以满足平行假设检验。

Fixed-effects (within) regression Number of obs = 28

Group variable: country Number of groups = 7

R-sq: Obs per group:

within = 0.0673 min = 4

between = 0.2121 avg = 4.0

overall = 0.0118 max = 4

F(2,6) = .

corr(u_i, Xb) = -0.5136 Prob > F = .

(Std. Err. adjusted for 7 clusters in country)

------------------------------------------------------------------------------

| Robust

y | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]

-------------+----------------------------------------------------------------

pre_4 | -2.12e+09 2.58e+09 -0.82 0.442 -8.44e+09 4.19e+09

pre_3 | -2.02e+09 2.08e+09 -0.97 0.369 -7.11e+09 3.07e+09

pre_2 | -1.19e+09 2.15e+09 -0.55 0.602 -6.45e+09 4.08e+09

pre_1 | 0 (omitted)

_cons | 1.69e+09 7.04e+08 2.40 0.053 -3.23e+07 3.41e+09

-------------+----------------------------------------------------------------

sigma_u | 2.472e+09

sigma_e | 2.588e+09

rho | .4771219 (fraction of variance due to u_i)

------------------------------------------------------------------------------

我们还可以看一下pre_4、pre_3和pre_2行,[95% Conf. Interval]两列的数据,下图绘制了这两列数据的范围。显然,都包含了0值,即通过了平行假设检验。

此处做一下额外说明:本节只使用政策干预前的数据做平行假设检验,而很多文献则是把干预前和干预后数据放在一起做平行假设检验,但是个人认为后者是不合理的,主要原因是:我们在实际操作时,需要先通过平行假设检验找出合适的对照组和实验组,然后再去做实验,此时并没有干预后数据。

接下来搞点事情:调整treat值,和之前恰好相反。然后再重新做一遍平行假设检验。

原理上来说,只是互换了实验组和对照组的身份,平行假设检验的结果应该是不变的。

gen period = (year>=1994) & !missing(year)

gen treat = (country<=4) & !missing(country) // treat的数值有变化

gen did = period * treat

gen policy = year - 1994

forvalues i = 4(-1)1{

gen pre_`i' = (policy == -`i' & treat == 1)

}

xtreg y pre_*, fe r

est sto reg

coefplot reg, keep(pre_*) vertical recast(connect) yline(0)

但从计算结果上可以发现,pre2行对应的P>|t|值为0.006,小于0.05;[95% Conf. Interval]也已不包含0。即不再满足平行假设检验。

这和我们的直观认知是不符的。但是具体原因暂时并未探查到,如遇大神,望能不吝赐教。

Fixed-effects (within) regression Number of obs = 28

Group variable: country Number of groups = 7

R-sq: Obs per group:

within = 0.3044 min = 4

between = 0.2121 avg = 4.0

overall = 0.2536 max = 4

F(3,6) = 53.56

corr(u_i, Xb) = -0.1823 Prob > F = 0.0001

(Std. Err. adjusted for 7 clusters in country)

------------------------------------------------------------------------------

| Robust

y | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]

-------------+----------------------------------------------------------------

pre_4 | -4.00e+09 1.70e+09 -2.36 0.057 -8.16e+09 1.56e+08

pre_3 | -3.00e+09 1.33e+09 -2.26 0.064 -6.25e+09 2.47e+08

pre_2 | -3.58e+09 8.62e+08 -4.15 0.006 -5.68e+09 -1.47e+09

pre_1 | 0 (omitted)

_cons | 2.63e+09 3.44e+08 7.64 0.000 1.79e+09 3.47e+09

-------------+----------------------------------------------------------------

sigma_u | 1.888e+09

sigma_e | 2.235e+09

rho | .41645141 (fraction of variance due to u_i)

------------------------------------------------------------------------------

效果评估

以下为政策实施后的数据。

文章中已经实现过基本DID,因此本节直接给出代码。相比之前代码,DID回归步骤使用reg方式替代了diff方式。两种方式都可以,不过reg更常用。

gen period = (year>=1994) & !missing(year) // 生成时间虚拟变量,1994年前为0,反之为1

gen treat = (country>4) & !missing(country) // 生成区域的虚拟变量,干预为1,反之为0

gen did = period * treat // 生成交叉项

reg y period treat did, r //DID回归:reg方式

从结果看,did行、P>|t|列的值(

β

\beta

β)为0.088,大于0.05,即政策效果不显著。

Linear regression Number of obs = 70

F(3, 66) = 2.17

Prob > F = 0.0998

R-squared = 0.0827

Root MSE = 3.0e+09

------------------------------------------------------------------------------

| Robust

y | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]

-------------+----------------------------------------------------------------

period | 2.29e+09 9.00e+08 2.54 0.013 4.92e+08 4.09e+09

treat | 1.78e+09 1.05e+09 1.70 0.094 -3.11e+08 3.86e+09

did | -2.52e+09 1.45e+09 -1.73 0.088 -5.42e+09 3.81e+08

_cons | 3.58e+08 7.61e+08 0.47 0.640 -1.16e+09 1.88e+09

------------------------------------------------------------------------------

除了以上的基本DID,还可以在模型中添加其他控制变量,例如:x1-x3、opinion和country

reg y period treat did x1-x3 i.opinion i.country, r

此时,

β

\beta

β值变为0.01,即政策效果变得显著。查看控制变量的系数后可知,变量

x

1

x_1

x1​的交叉项系数也为0.01,即对政策影响较大。

Linear regression Number of obs = 70

F(14, 55) = 3.32

Prob > F = 0.0007

R-squared = 0.3800

Root MSE = 2.7e+09

------------------------------------------------------------------------------

| Robust

y | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]

-------------+----------------------------------------------------------------

period | 1.63e+09 8.16e+08 2.00 0.050 -970567.3 3.27e+09

treat | -5.13e+08 2.51e+09 -0.20 0.839 -5.54e+09 4.52e+09

did | -3.67e+09 1.37e+09 -2.67 0.010 -6.42e+09 -9.13e+08

x1 | 2.86e+09 1.07e+09 2.67 0.010 7.12e+08 5.00e+09

x2 | 3021459 2.43e+09 0.00 0.999 -4.88e+09 4.88e+09

x3 | 3.17e+08 3.09e+08 1.03 0.310 -3.03e+08 9.37e+08

|

opinion |

Agree | -1.08e+09 1.27e+09 -0.86 0.396 -3.63e+09 1.46e+09

Disag | 1.10e+09 7.85e+08 1.40 0.167 -4.73e+08 2.67e+09

Str disag | 7.90e+08 7.93e+08 1.00 0.324 -7.99e+08 2.38e+09

|

country |

B | -1.10e+09 5.72e+09 -0.19 0.848 -1.26e+10 1.04e+10

C | -2.02e+09 1.82e+09 -1.11 0.270 -5.67e+09 1.62e+09

D | 2.89e+09 6.28e+09 0.46 0.647 -9.69e+09 1.55e+10

E | 2.07e+09 7.97e+09 0.26 0.797 -1.39e+10 1.80e+10

F | 4.79e+09 3.40e+09 1.41 0.164 -2.02e+09 1.16e+10

G | 0 (omitted)

|

_cons | -1.26e+09 2.10e+09 -0.60 0.552 -5.48e+09 2.96e+09

------------------------------------------------------------------------------

安慰剂检验

先看第一种方法:改变事件发生时间。该方法假设政策干预时间提前,重新判断政策虚拟变量的系数是否显著。如果不显著,则可以说明原政策效果的稳健性。

以下代码中,假设政策发生事件变为1992年:

gen period = (year>=1992) & !missing(year) // 1994->1992

gen treat = (country>4) & !missing(country)

gen did = period * treat

reg y period treat did x1-x3 i.opinion i.country, r

β

\beta

β值变为0.107<0.05,即政策效果不显著。这个结果是比较理想的,因为这表明:除去政策影响后,指标变化是不显著的。

Linear regression Number of obs = 70

F(14, 55) = 2.89

Prob > F = 0.0025

R-squared = 0.3464

Root MSE = 2.7e+09

------------------------------------------------------------------------------

| Robust

y | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]

-------------+----------------------------------------------------------------

period | 2.21e+09 9.84e+08 2.25 0.029 2.40e+08 4.18e+09

treat | 7.49e+08 2.79e+09 0.27 0.789 -4.84e+09 6.33e+09

did | -2.06e+09 1.25e+09 -1.64 0.107 -4.57e+09 4.58e+08

x1 | 1.59e+09 9.57e+08 1.66 0.102 -3.27e+08 3.51e+09

x2 | 7.80e+08 2.80e+09 0.28 0.781 -4.82e+09 6.38e+09

x3 | 1.48e+08 2.83e+08 0.52 0.604 -4.20e+08 7.16e+08

|

opinion |

Agree | -9.49e+08 1.30e+09 -0.73 0.468 -3.55e+09 1.66e+09

Disag | 9.84e+08 7.85e+08 1.25 0.215 -5.89e+08 2.56e+09

Str disag | 7.90e+08 7.91e+08 1.00 0.322 -7.95e+08 2.38e+09

|

country |

B | -2.98e+09 6.55e+09 -0.45 0.651 -1.61e+10 1.02e+10

C | -6.99e+08 1.95e+09 -0.36 0.721 -4.60e+09 3.21e+09

D | 5.84e+08 7.13e+09 0.08 0.935 -1.37e+10 1.49e+10

E | -1.69e+09 9.19e+09 -0.18 0.855 -2.01e+10 1.67e+10

F | 2.92e+09 3.59e+09 0.81 0.421 -4.29e+09 1.01e+10

G | 0 (omitted)

|

_cons | -7.66e+08 2.48e+09 -0.31 0.759 -5.73e+09 4.20e+09

------------------------------------------------------------------------------

但如果我们仅将政策发生时间提前一年:

gen period = (year>=1993) & !missing(year) // 1994->1993

gen treat = (country>4) & !missing(country)

gen did = period * treat

reg y period treat did x1-x3 i.opinion i.country, r

结果为:

β

=

0.015

\beta=0.015

β=0.015,政策效果依然显著。此种情况下,不再能证明原政策效果的稳健性。出现该现状的原因可能是时间提前过少,导致1993年的效果被1994-1999的效果掩盖了。为了避免该尴尬局面的出现,更推荐使用即将介绍的第二种方法:随机化实验组。

Linear regression Number of obs = 70

F(14, 55) = 3.47

Prob > F = 0.0005

R-squared = 0.3826

Root MSE = 2.7e+09

------------------------------------------------------------------------------

| Robust

y | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]

-------------+----------------------------------------------------------------

period | 2.57e+09 8.35e+08 3.08 0.003 9.00e+08 4.25e+09

treat | 1.18e+09 2.67e+09 0.44 0.662 -4.18e+09 6.54e+09

did | -2.94e+09 1.17e+09 -2.52 0.015 -5.27e+09 -6.00e+08

x1 | 1.60e+09 9.21e+08 1.73 0.088 -2.48e+08 3.44e+09

x2 | 9.67e+08 2.67e+09 0.36 0.719 -4.38e+09 6.32e+09

x3 | 1.92e+08 2.91e+08 0.66 0.511 -3.91e+08 7.76e+08

|

opinion |

Agree | -6.80e+08 1.33e+09 -0.51 0.612 -3.35e+09 1.99e+09

Disag | 9.45e+08 7.39e+08 1.28 0.206 -5.35e+08 2.43e+09

Str disag | 6.35e+08 7.55e+08 0.84 0.404 -8.77e+08 2.15e+09

|

country |

B | -3.44e+09 6.24e+09 -0.55 0.583 -1.59e+10 9.06e+09

C | -7.09e+08 1.83e+09 -0.39 0.700 -4.38e+09 2.96e+09

D | 1.14e+08 6.71e+09 0.02 0.987 -1.33e+10 1.36e+10

E | -2.18e+09 8.76e+09 -0.25 0.804 -1.97e+10 1.54e+10

F | 2.77e+09 3.40e+09 0.81 0.419 -4.05e+09 9.59e+09

G | 0 (omitted)

|

_cons | -6.54e+08 2.25e+09 -0.29 0.772 -5.16e+09 3.85e+09

------------------------------------------------------------------------------

在随机化实验组的方法中,一般是随机选取个体作为处理组,重复500次或者1000次,看看“伪政策虚拟变量”的系数是否显著。如果不显著,可以说明原政策效果的稳健性。

以下是实现代码,因为我自己也不太理解每一步的逻辑,只需要知道该代码能把图绘制出来即可,哈哈~

cap erase "simulations.dta"

permute did beta = _b[did] se = _se[did] df = e(df_r), reps(500) seed(2) ///

saving("simulations.dta"):reg y did, vce(robust)

use "simulations.dta", clear

gen t_value = beta / se

gen p_value = 2 * ttail(df, abs(beta/se))

dpplot beta, xtitle("Estimator", size(*0.8))

xlabel(, format(%4.3f) labsize(small))

ytitle("Density", size(*0.8))

ylabel(, nogrid format(%4.3f) labsize(small))

note("")

caption("")

graphregion(fcolor(white))

以下是

β

\beta

β的统计图。从图上可以看出,

β

\beta

β值大部分都都在0附近,平均值为

3.7

×

1

0

7

-3.7\times10^7

−3.7×107。回顾效果评估模块中的

β

\beta

β计算结果,为

1

0

9

10^9

109量级,即随机化的实验组相比原实验组,

β

\beta

β降低了2个数量级,政策效果不再显著。

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