文章目录
一、问题引出二、原理2.1 矩阵求逆原理2.2 矩阵消元原理
三、举例四、题目链接五、代码实现5.1 整数逆元逆矩阵5.2 浮点逆矩阵
六、拓展：逆矩阵求法6.1 LU分解法6.2 SVD分解法6.3 QR分解法
一、问题引出
给定一个
n
×
n
n \times n
n×n 的矩阵
A
A
A ，我们想求得一个矩阵
B
B
B 使得
∣
A
×
B
∣
|A \times B|
∣A×B∣ 即
A
A
A 矩阵和
B
B
B 矩阵的积矩阵的行列式为
1
1
1 ，那么这个
B
B
B 矩阵就是
A
A
A 矩阵的逆矩阵，或者说
A
×
B
A \times B
A×B 得到单位矩阵
E
E
E
二、原理
2.1 矩阵求逆原理
我们先构造出一个
n
×
2
n
n\times 2n
n×2n 的增广矩阵
(
A
,
I
n
)
(A,I_n)
(A,In)然后用高斯消元法将这个增广矩阵化为最简形式
(
I
n
,
A
−
1
)
(I_n,A^{-1})
(In,A−1) ，此时的增广部分就是
A
A
A 矩阵的逆矩阵，如果最后简化的左半部分矩阵不是单位矩阵那么说明矩阵
A
A
A 不可逆
2.2 矩阵消元原理
对于一个矩阵
A
A
A ，我们从第
1
1
1 行到第
n
n
n 行不断选取第
i
i
i 列不为
0
0
0 的行，然后做一个行变换（交换两行，使得当前的第
i
i
i 行的第
i
i
i 列不为0）然后将当前的第
i
i
i 行做一个初等变换，也就是都除以
A
[
i
]
[
i
]
A[i][i]
A[i][i] 这样的话就能让第
i
i
i 行第
i
i
i 列变为
1
1
1将第
i
i
i 行下面的所有行的第
i
i
i 列全部消掉，此时就构成了一个上三角矩阵此时已经构成了一个阶梯型矩阵，我们再从下往上不断将上半矩阵同理消掉即可
三、举例
我们要求的
A
A
A 矩阵如下：
[
2
1
1
3
2
1
2
1
2
]
\begin{bmatrix} 2 \ 1 \ 1 \\ 3 \ 2 \ 1 \\ 2 \ 1 \ 2 \\ \end{bmatrix}
⎣⎡2 1 13 2 12 1 2⎦⎤
我们构造出增广矩阵：
[
2
1
1
1
0
0
3
2
1
0
1
0
2
1
2
0
0
1
]
\begin{bmatrix} 2 \ 1 \ 1 \ 1 \ 0 \ 0 \\ 3 \ 2 \ 1 \ 0 \ 1 \ 0\\ 2 \ 1 \ 2 \ 0 \ 0 \ 1 \\ \end{bmatrix}
⎣⎡2 1 1 1 0 03 2 1 0 1 02 1 2 0 0 1⎦⎤
开始行变换，消除下三角
[
1
1
/
2
1
/
2
1
/
2
0
0
0
1
−
1
−
3
2
0
0
0
1
−
1
0
1
]
\begin{bmatrix} 1 \ \ 1/2 \ \ 1/2 \ 1/2 \ 0 \ 0 \\ 0 \ 1 \ \ \ -1 \ -3 \ \ \ 2 \ \ 0\\ 0 \ \ 0 \ \ \ \ 1 \ -1 \ \ \ \ 0 \ \ 1 \\ \end{bmatrix}
⎣⎡1 1/2 1/2 1/2 0 00 1 −1 −3 2 00 0 1 −1 0 1⎦⎤ 3. 从下往上消除上三角形
[
1
0
0
3
−
1
−
1
0
1
0
−
4
2
1
0
0
1
−
1
0
1
]
\begin{bmatrix} 1 \ 0 \ \ 0 \ 3 \ -1 \ -1 \\ 0 \ 1 \ 0 \ -4 \ 2 \ 1\\ 0 \ 0 \ 1 \ -1 \ 0 \ 1 \\ \end{bmatrix}
⎣⎡1 0 0 3 −1 −10 1 0 −4 2 10 0 1 −1 0 1⎦⎤
四、题目链接
https://www.luogu.com.cn/problem/P4783
五、代码实现
5.1 整数逆元逆矩阵
对于这个整数逆元逆矩阵，需要注意的一点是模数最好选择一个质数，否则很容易存在逆元不存在的情况，导致求解出来的逆矩阵不正确
#include
#define re register
#define il inline
#define ll long long
using namespace std;
il ll read(){
ll s=0,f=0;char c=getchar();
while(c<'0'||c>'9') f=(c=='-'),c=getchar();
while(c>='0'&&c<='9') s=(s<<3)+(s<<1)+(c^'0'),c=getchar();
return f?-s:s;
}
const int N=405,mod=1e9+7;
int n;
ll a[N][N<<1];
il ll qpow(ll x,ll k){
ll ans=1;
while(k){
if(k&1) ans=ans*x%mod;
x=x*x%mod;
k>>=1;
}
return ans%mod;
}
il void Gauss_j(){
for(re int i=1,r;i<=n;++i){
r=i;
for(re int j=i+1;j<=n;++j)
if(a[j][i]>a[r][i]) r=j;
if(r!=i) swap(a[i],a[r]);
if(!a[i][i]){puts("No Solution");return;}
int kk=qpow(a[i][i],mod-2); //求逆元
for(re int k=1;k<=n;++k){
if(k==i) continue;
int p=a[k][i]*kk%mod;
for(re int j=i;j<=(n<<1);++j)
a[k][j]=((a[k][j]-p*a[i][j])%mod+mod)%mod;
}
for(re int j=1;j<=(n<<1);++j) a[i][j]=(a[i][j]*kk%mod);
//更新当前行 如果放在最后要再求一次逆元,不如直接放在这里
}
for(re int i=1;i<=n;++i){
for(re int j=n+1;j<(n<<1);++j) printf("%lld ",a[i][j]);
printf("%lld\n",a[i][n<<1]);
}
}
int main(){
n=read();
for(re int i=1;i<=n;++i)
for(re int j=1;j<=n;++j)
a[i][j]=read(),a[i][i+n]=1;
Gauss_j();
return 0;
}
5.2 浮点逆矩阵
对于浮点逆矩阵那么直接用高斯消元的方式做就好了
#include
using namespace std;
#define ll long long
#define mod 26
#define endl "\n"
#define PII pair
#define INF 0x3f3f3f3f
#define EPS 0.00001
const int N = 1e2+10;
ll n;
double a[N][N],b[N][N];
void output(double a[N][N],double b[N][N]){
//调试输出
cout<<"调试输出：左边为A矩阵，右边为B矩阵"< for(int i = 1;i <= n; ++i) { for(int j = 1;j <= n; ++j) { cout< } for(int j = 1;j <= n; ++j) { cout< } } } void guss(){ for(ll i = 1;i <= n; ++i) {//枚举当前处理到第几列 for(ll j = i;j <= n; ++j) {//找到一个第i列不为空的行 if(fabs(a[i][i]) > EPS) { for(ll k = i;k <= n; ++k) //交换i,j行 swap(a[i][k],a[j][k]); break; } } if(fabs(a[i][i]) < EPS) { cout<<"不存在逆矩阵"< return ; } //这里就是将第i行下面所有行的第i列清空，变成一个阶梯型的矩阵 double aii_inv = 1.0/a[i][i]; //将第i行都乘上a[i][i]的逆 a[i][i] = 1.0; for(ll j = i + 1;j <= n ; ++j) { a[i][j] = a[i][j] * aii_inv; } for(ll j = 1;j <= n; ++j) { b[i][j] = b[i][j] * aii_inv; } //将第i行下面的所有第i列的元素值清空 for(ll j = i + 1;j <= n; ++j) { for(ll k = i + 1;k <= n; ++k) { a[j][k] = a[j][k] - a[i][k] * a[j][i]; } for(ll k = 1;k <= n; ++k) { b[j][k] = b[j][k] - b[i][k] * a[j][i]; } a[j][i] = 0.0; } } output(a,b); //从下往上第推删除A矩阵第i列后的所有元素 for(int i = n; i >= 1; -- i) { for(int j = i - 1;j >= 1; --j) { for(int k = 1;k <= n; ++k) { //处理的是第i行和第j行的数据 b[j][k] = b[j][k] - a[j][i] * b[i][k]; } a[j][i] = 0.0; } } cout<<"A矩阵的逆矩阵："< //到了这里说明A矩阵已经变为单位矩阵了，此时的B矩阵就是A矩阵的逆矩阵了 for(int i = 1;i <= n; ++i) { for(int j = 1;j <= n; ++j) { cout< } } } int main() { string s; cin>>n; for(int i = 1;i <= n; ++i) for(int j = 1;j <= n; ++j) { cin>>a[i][j]; b[i][j] = (i==j?1.0:0.0); } guss(); return 0; } /* A 3 2 1 1 3 2 1 2 1 2 逆矩阵： 3 -1 -1 -4 2 1 -1 0 1 */ 六、拓展：逆矩阵求法 至于这一部分的资料，大家可以自行搜索噢 6.1 LU分解法 LU分解法其实是高斯消元法的一种变种算法。LU分解是将矩阵A分解为一个下三角矩阵与一个上三角矩阵的乘积。所谓的三角阵就是一半为零的矩阵。L是下三角矩阵(Lower TriangularMatrix)，即主对角线以上的元素全部都是0的矩阵。U是上三角矩阵(Upper Triangular Matrix)，即主对角线以下的元素全部都是0的矩阵。 A = L U A − 1 = U − 1 L − 1 A=LU \\ A^{-1}=U^{-1}L^{-1} A=LUA−1=U−1L−1 然LU分解是高斯消元法的一种表现形式，但是相对于高斯消元法，LU分解更易于实现并行化。计算机基本用这种方法。比如求 50000 × 50000 50000\times 50000 50000×50000 的这种大型矩阵。 6.2 SVD分解法 SingularValue Decomposition分解法也叫做奇异值分解，也是线性代数中十分重要的矩阵分解法，同样的能用来求解矩阵的逆矩阵。不同于LU分解中将矩阵A分解为下三角矩阵L与上三角矩阵U的乘积，SVD分解将矩阵A分解为三个矩阵的乘积，分别为：正交矩阵U、对角矩阵W以及正交矩阵V的转置矩阵V. A = U W V T A − 1 = V W − 1 U T A=UWV^T \\ A^{-1}=VW^{-1}U^T A=UWVTA−1=VW−1UT 6.3 QR分解法 QR分解同样将原始矩阵A分解为两个矩阵的乘积，不同的是这两个矩阵分别为正交矩阵Q和上三角矩阵R。 A = Q R A − 1 = R − 1 Q − 1 A=QR \\ A^{-1}=R^{-1}Q^{-1} A=QRA−1=R−1Q−1
发表评论